Номер 60, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

60. а) В равнобедренной трапеции основания равны 10 и 6, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

б) Высота равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 15. Найдите площадь трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, большее основание $AD=10$, меньшее основание $BC=6$. Диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — основания, а $h$ — высота.

В равнобедренной трапеции треугольники, образованные пересечением диагоналей и основаниями ($\triangle AOD$ и $\triangle BOC$), являются равнобедренными. Поскольку по условию диагонали перпендикулярны, то эти треугольники являются равнобедренными прямоугольными треугольниками (гипотенузами служат основания трапеции).

Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей $O$. Эта высота $h$ будет состоять из двух отрезков: высоты $h_1$ треугольника $\triangle BOC$, опущенной из вершины $O$ на основание $BC$, и высоты $h_2$ треугольника $\triangle AOD$, опущенной из вершины $O$ на основание $AD$. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно:

Для треугольника $\triangle BOC$: $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Для треугольника $\triangle AOD$: $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Тогда высота всей трапеции равна: $h = h_1 + h_2 = 3 + 5 = 8$.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2}h = \frac{10+6}{2} \cdot 8 = \frac{16}{2} \cdot 8 = 8 \cdot 8 = 64$.

Ответ: 64

б)

В данной задаче рассматривается равнобедренная трапеция, у которой диагонали взаимно перпендикулярны. Высота трапеции $h=15$. Требуется найти ее площадь $S$.

Как было показано в решении пункта а), для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями существует важное свойство: ее высота равна полусумме оснований (средней линии).

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$. Тогда ее высота $h = \frac{a+b}{2}$.

Формула для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2}h$.

Подставим в формулу площади выражение для высоты: $S = h \cdot h = h^2$.

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна квадрату ее высоты.

Используя данное свойство и условие, что $h=15$, находим площадь:

$S = 15^2 = 225$.

Ответ: 225