Номер 55, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

55. а) Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 5 см, а величины углов трапеции относятся как 2 : 1. Длина отрезка, соединяющего вершину тупого угла трапеции с серединой большего основания, также равна 5 см. Найдите периметр трапеции.

б) В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, а отношение большего основания к боковой стороне — 2 : 1. Найдите величину острого угла трапеции.

а)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и меньшим $BC$. Боковые стороны $AB = CD = 5$ см.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Пусть острый угол при основании равен $x$, тогда тупой угол, согласно отношению $2:1$, равен $2x$. Составим уравнение: $x + 2x = 180^\circ$ $3x = 180^\circ$ $x = 60^\circ$ Следовательно, острые углы трапеции при большем основании равны $\angle A = \angle D = 60^\circ$, а тупые углы при меньшем основании равны $\angle B = \angle C = 120^\circ$.

Пусть $M$ — середина большего основания $AD$. По условию, отрезок, соединяющий вершину тупого угла $C$ с точкой $M$, равен $CM = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle CMD$. В нем известны две стороны $CD = 5$ см, $CM = 5$ см и угол $\angle D = 60^\circ$. Поскольку $CM = CD$, треугольник $\triangle CMD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы, противолежащие равным сторонам $CM$ и $CD$, — это $\angle D$ и $\angle CMD$ соответственно. Значит, $\angle CMD = \angle D = 60^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle MCD = 180^\circ - (\angle D + \angle CMD) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Так как все углы треугольника $\triangle CMD$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $MD = CD = CM = 5$ см.

Поскольку $M$ — середина основания $AD$, то длина всего основания $AD = 2 \cdot MD = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Для нахождения длины меньшего основания $BC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ гипотенуза $CD = 5$ см, а угол $\angle D = 60^\circ$. Катет $HD$, прилежащий к этому углу, равен: $HD = CD \cdot \cos(60^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$ см.

В равнобедренной трапеции большее основание связано с меньшим через проекции боковых сторон: $AD = BC + 2 \cdot HD$. Подставим известные значения: $10 = BC + 2 \cdot 2.5$ $10 = BC + 5$ $BC = 5$ см.

Теперь мы можем найти периметр трапеции, который равен сумме длин всех ее сторон: $P = AB + BC + CD + AD = 5 + 5 + 5 + 10 = 25$ см.

Ответ: 25 см.

б)

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и меньшим $BC$.

По условию, меньшее основание равно боковой стороне. Обозначим их длину за $a$: $BC = AB = CD = a$.

Также по условию, отношение большего основания к боковой стороне равно $2:1$, следовательно, $AD = 2 \cdot AB = 2a$.

Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, поэтому $HK = BC = a$.

Треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными и равны (например, по гипотенузе и острому углу). Следовательно, отрезки $AH$ и $DK$ равны. $AH = DK = \frac{AD - HK}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известна гипотенуза $AB = a$ и катет $AH = \frac{a}{2}$. Найдем косинус острого угла $\angle A$: $\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, острый угол трапеции равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.