Номер 51, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

51. a) Диагонали ромба, площадь которого равна 24, относятся как 3 : 4. Найдите высоту ромба.

б) Диагонали ромба, площадь которого равна $\frac{20\sqrt{3}}{3}$, относятся как $1 : \sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

а)

Площадь ромба $S$ можно вычислить через его диагонали $d_1$ и $d_2$ по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

По условию, площадь ромба равна 24, а диагонали относятся как 3 : 4. Обозначим диагонали как $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности.

Подставим эти значения в формулу площади: $24 = \frac{1}{2} (3x)(4x)$ $24 = \frac{1}{2} \cdot 12x^2$ $24 = 6x^2$ $x^2 = \frac{24}{6} = 4$ $x = 2$ (так как длина не может быть отрицательной).

Теперь найдем длины диагоналей: $d_1 = 3x = 3 \cdot 2 = 6$ $d_2 = 4x = 4 \cdot 2 = 8$

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторону ромба $a$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $a^2 = (\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2$ $a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ $a = \sqrt{25} = 5$.

Площадь ромба также можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $h$ — высота ромба. $24 = 5 \cdot h$ $h = \frac{24}{5} = 4.8$.

Ответ: 4,8

б)

Площадь ромба $S$ равна $\frac{20\sqrt{3}}{3}$, а его диагонали $d_1$ и $d_2$ относятся как $1 : \sqrt{3}$. Обозначим диагонали как $d_1 = x$ и $d_2 = x\sqrt{3}$.

Используем формулу площади ромба через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$ $\frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{2} (x)(x\sqrt{3})$ $\frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $\frac{20}{3} = \frac{x^2}{2}$ $x^2 = \frac{20 \cdot 2}{3} = \frac{40}{3}$ $x = \sqrt{\frac{40}{3}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$.

Найдем длины диагоналей: $d_1 = x = \frac{2\sqrt{30}}{3}$ $d_2 = x\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{30}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{90}}{3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{10}}{3} = 2\sqrt{10}$.

Теперь найдем сторону ромба $a$ по теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $a^2 = (\frac{2\sqrt{30}/3}{2})^2 + (\frac{2\sqrt{10}}{2})^2$ $a^2 = (\frac{\sqrt{30}}{3})^2 + (\sqrt{10})^2$ $a^2 = \frac{30}{9} + 10 = \frac{10}{3} + \frac{30}{3} = \frac{40}{3}$ $a = \sqrt{\frac{40}{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$.

Высота ромба $h$ связана с площадью и стороной формулой $S = a \cdot h$: $h = \frac{S}{a} = \frac{20\sqrt{3}/3}{2\sqrt{30}/3} = \frac{20\sqrt{3}}{2\sqrt{30}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3 \cdot 10}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{10}} = \frac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$.

Радиус вписанной в ромб окружности $r$ равен половине его высоты: $r = \frac{h}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$