Номер 47, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

47. a) Периметр ромба равен 16 см, а отношение величин углов ромба — 2 : 1. Найдите площадь ромба.

б) Один из углов ромба в два раза больше другого. Найдите длину большей диагонали ромба, если его меньшая диагональ равна 4 см.

а)

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба равна $a$. Периметр ромба $P$ вычисляется по формуле $P = 4a$.

Из условия известно, что периметр равен 16 см, следовательно, мы можем найти длину стороны ромба:

$4a = 16 \text{ см}$

$a = \frac{16}{4} = 4 \text{ см}$

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Обозначим углы ромба как $\alpha$ и $\beta$. Тогда $\alpha + \beta = 180^\circ$.

По условию, отношение величин углов равно $2:1$. Пусть $\beta = 2\alpha$.

Подставим это соотношение в уравнение для суммы углов:

$\alpha + 2\alpha = 180^\circ$

$3\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Тогда второй угол $\beta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

Итак, углы ромба равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Площадь ромба $S$ можно вычислить по формуле, использующей сторону и синус угла между сторонами: $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные нам значения стороны $a=4$ см и угла $\alpha = 60^\circ$:

$S = 4^2 \cdot \sin(60^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $8\sqrt{3}$ см².

б)

Условие "один из углов ромба в два раза больше другого" аналогично условию из пункта а). Пусть углы ромба равны $\alpha$ и $\beta$.

$\alpha + \beta = 180^\circ$ (как сумма соседних углов)

$\beta = 2\alpha$ (по условию)

Решая эту систему, получаем: $\alpha + 2\alpha = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ$.

Соответственно, $\beta = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$.

В ромбе меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла, а большая диагональ — напротив большего угла. Нам дана меньшая диагональ $d_1 = 4$ см, следовательно, она лежит напротив угла в $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба ($a$) и меньшей диагональю ($d_1$). Этот треугольник является равнобедренным (так как стороны ромба равны), а угол между этими сторонами равен $60^\circ$. Такой треугольник является равносторонним.

Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали: $a = d_1 = 4$ см.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком треугольнике гипотенузой является сторона ромба $a$, а катетами — половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора:

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

Подставим известные значения $a=4$ см и $d_1=4$ см:

$(\frac{4}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 4^2$

$2^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 16$

$4 + \frac{d_2^2}{4} = 16$

$\frac{d_2^2}{4} = 12$

$d_2^2 = 48$

$d_2 = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.