Номер 43, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

43. a) Диагональ прямоугольника равна 10, а косинус угла между диагоналями равен 0,8. Найдите площадь прямоугольника.

б) Площадь прямоугольника равна 40, а косинус угла между диагоналями равен 0,6. Найдите длину диагонали прямоугольника.

а)

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника может быть найдена по формуле: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$. Тогда формула для площади прямоугольника принимает вид: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

По условию задачи, длина диагонали $d = 10$, а косинус угла между диагоналями $\cos\alpha = 0,8$.

Найдем синус угла $\alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Угол между диагоналями $\alpha$ находится в диапазоне $(0, \pi)$, поэтому его синус положителен.

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь можем вычислить площадь прямоугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot 0,6 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0,6 = 50 \cdot 0,6 = 30$.

Ответ: 30.

б)

Воспользуемся той же формулой для площади прямоугольника через его диагонали: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

По условию задачи, площадь прямоугольника $S = 40$, а косинус угла между диагоналями $\cos\alpha = 0,6$.

Сначала найдем синус угла $\alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Теперь выразим из формулы площади квадрат диагонали $d^2$: $d^2 = \frac{2S}{\sin\alpha}$.

Подставим известные значения и вычислим длину диагонали: $d^2 = \frac{2 \cdot 40}{0,8} = \frac{80}{0,8} = \frac{800}{8} = 100$.

$d = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.