Номер 42, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

42. a) В квадрат, площадь которого равна 18, вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как $2 : 1$. Найдите площадь прямоугольника.

б) В квадрат, площадь которого равна 32, вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Длины сторон прямоугольника относятся как $4 : 1$. Найдите площадь прямоугольника.

а)

Пусть сторона квадрата равна $s$. Площадь квадрата $S_{кв} = s^2 = 18$. В квадрат вписан прямоугольник, вершины которого лежат на сторонах квадрата. Это означает, что пространство между сторонами квадрата и сторонами прямоугольника состоит из четырех прямоугольных треугольников в углах квадрата.

Обозначим длины отрезков, на которые вершины прямоугольника делят стороны квадрата, через $u$ и $v$. Тогда сторона квадрата равна $s = u+v$. В силу симметрии задачи, можно показать, что два противолежащих угловых треугольника являются равнобедренными с катетами $u$, а два других — равнобедренными с катетами $v$.

Стороны прямоугольника, обозначим их $a$ и $b$, являются гипотенузами этих треугольников. Применим теорему Пифагора: $a^2 = v^2 + v^2 = 2v^2 \implies a = v\sqrt{2}$ $b^2 = u^2 + u^2 = 2u^2 \implies b = u\sqrt{2}$

По условию, длины сторон прямоугольника относятся как $2:1$. Пусть $a/b = 2$. Тогда $\frac{v\sqrt{2}}{u\sqrt{2}} = \frac{v}{u} = 2$, откуда $v=2u$.

Теперь мы можем связать сторону квадрата с $u$: $s = u + v = u + 2u = 3u$.

Возведем в квадрат, чтобы использовать известную площадь квадрата: $s^2 = (3u)^2 = 9u^2$. Так как $s^2 = 18$, получаем $9u^2 = 18$, откуда $u^2=2$.

Площадь прямоугольника $S_{пр}$ можно найти, вычтя из площади квадрата суммарную площадь четырех угловых треугольников: $S_{углов} = 2 \cdot (\frac{1}{2}u \cdot u) + 2 \cdot (\frac{1}{2}v \cdot v) = u^2 + v^2$. Поскольку $v=2u$, то $v^2=4u^2$. $S_{углов} = u^2 + 4u^2 = 5u^2$. Подставив $u^2=2$, находим $S_{углов} = 5 \cdot 2 = 10$.

Площадь прямоугольника равна: $S_{пр} = S_{кв} - S_{углов} = 18 - 10 = 8$.

Ответ: 8.

б)

Решение аналогично пункту а), но с другими исходными данными. Площадь квадрата $S_{кв} = s^2 = 32$. Отношение сторон прямоугольника $a:b = 4:1$.

Используем те же рассуждения и формулы. Пусть сторона квадрата $s=u+v$, а стороны прямоугольника $a=v\sqrt{2}$ и $b=u\sqrt{2}$. Отношение сторон: $\frac{a}{b} = \frac{v\sqrt{2}}{u\sqrt{2}} = \frac{v}{u} = 4$, откуда $v=4u$.

Выразим сторону квадрата через $u$: $s = u + v = u + 4u = 5u$.

Площадь квадрата: $s^2 = (5u)^2 = 25u^2$. Так как $s^2 = 32$, получаем $25u^2 = 32$, откуда $u^2 = \frac{32}{25}$.

Площадь угловых треугольников: $S_{углов} = u^2 + v^2 = u^2 + (4u)^2 = u^2 + 16u^2 = 17u^2$. Подставив найденное значение $u^2$: $S_{углов} = 17 \cdot \frac{32}{25} = \frac{544}{25}$.

Площадь прямоугольника: $S_{пр} = S_{кв} - S_{углов} = 32 - \frac{544}{25} = \frac{32 \cdot 25}{25} - \frac{544}{25} = \frac{800 - 544}{25} = \frac{256}{25}$.

Ответ: $\frac{256}{25}$.