Номер 44, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

44. a) Большая сторона прямоугольника равна $\sqrt{10}$, а косинус угла между диагоналями равен 0,25. Найдите длину диагонали.

б) Меньшая сторона прямоугольника равна $2\sqrt{3}$, а косинус угла между диагоналями равен $-\frac{1}{3}$. Найдите длину диагонали.

a) Пусть $d$ — длина диагонали прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Эта точка является центром четырех равнобедренных треугольников. Боковыми сторонами этих треугольников являются половины диагоналей (длиной $\frac{d}{2}$), а основаниями — стороны прямоугольника. Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов, один из которых острый ($\alpha$), а другой тупой ($\beta$), причём $\beta = 180^\circ - \alpha$. Большая сторона прямоугольника лежит напротив тупого угла, а меньшая — напротив острого.

В условии дан косинус угла между диагоналями, равный 0,25. Так как это значение положительно, оно соответствует острому углу: $\cos(\alpha) = 0,25$. Большая сторона прямоугольника, равная $a = \sqrt{10}$, лежит напротив тупого угла $\beta$. Косинус тупого угла равен: $\cos(\beta) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha) = -0,25$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и большей стороной $a$. По теореме косинусов:

$a^2 = (\frac{d}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot (\frac{d}{2}) \cdot (\frac{d}{2}) \cdot \cos(\beta)$

$a^2 = 2 \cdot \frac{d^2}{4} - 2 \cdot \frac{d^2}{4} \cdot \cos(\beta) = \frac{d^2}{2}(1 - \cos(\beta))$

Подставим известные значения $a = \sqrt{10}$ и $\cos(\beta) = -0,25$ и решим уравнение:

$(\sqrt{10})^2 = \frac{d^2}{2}(1 - (-0,25))$

$10 = \frac{d^2}{2}(1 + 0,25) = \frac{d^2}{2} \cdot 1,25 = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{5}{4}$

$10 = \frac{5d^2}{8}$

$d^2 = \frac{10 \cdot 8}{5} = \frac{80}{5} = 16$

$d = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4

б) Аналогично предыдущему пункту, пусть $d$ — длина диагонали. По условию, косинус угла между диагоналями равен $-\frac{1}{3}$. Так как это значение отрицательно, оно соответствует тупому углу $\beta$: $\cos(\beta) = -\frac{1}{3}$.

Меньшая сторона прямоугольника, равная $b = 2\sqrt{3}$, лежит напротив острого угла $\alpha$. Косинус острого угла равен: $\cos(\alpha) = \cos(180^\circ - \beta) = -\cos(\beta) = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной $b$. По теореме косинусов:

$b^2 = \frac{d^2}{2}(1 - \cos(\alpha))$

Подставим известные значения $b = 2\sqrt{3}$ и $\cos(\alpha) = \frac{1}{3}$ и решим уравнение:

$(2\sqrt{3})^2 = \frac{d^2}{2}(1 - \frac{1}{3})$

$12 = \frac{d^2}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$12 = \frac{d^2}{3}$

$d^2 = 12 \cdot 3 = 36$

$d = \sqrt{36} = 6$

Ответ: 6