Номер 40, страница 183 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

40. а) Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой, а углы параллелограмма относятся как 3 : 1. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен $4(1 + \sqrt{2})$ см.

б) Периметр параллелограмма равен 30 см. Диагональ параллелограмма перпендикулярна его стороне. Найдите большую сторону параллелограмма, если его углы относятся как 1 : 2.

а)

1. Найдем углы параллелограмма. Сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$. По условию, углы относятся как $3:1$. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $3x$. Составим уравнение:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = 45^\circ$

Таким образом, углы параллелограмма равны $45^\circ$ и $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

2. Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AD=BC=a$ и $AB=CD=b$. Пусть острый угол $\angle A = 45^\circ$. По условию, одна из диагоналей является его высотой. Пусть диагональ $BD$ является высотой, проведенной к стороне $AD$. Это означает, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $\angle BDA = 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он является прямоугольным, так как $\angle BDA = 90^\circ$. Угол $\angle A = 45^\circ$. Найдем третий угол этого треугольника, $\angle ABD$:

$\angle ABD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны ($\angle A = \angle ABD = 45^\circ$), он является равнобедренным. Следовательно, катеты этого треугольника равны: $AD = BD$.

4. Обозначим сторону $AD$ как $a_1$. Тогда $BD = a_1$. Вторая сторона параллелограмма, $AB$, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AD^2 + BD^2 = a_1^2 + a_1^2 = 2a_1^2$

$AB = \sqrt{2a_1^2} = a_1\sqrt{2}$.

Стороны параллелограмма равны $a_1$ и $a_1\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то меньшая сторона равна $a_1$.

5. Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a_1 + a_1\sqrt{2})$. По условию задачи $P = 4(1 + \sqrt{2})$ см. Приравняем эти выражения:

$2(a_1 + a_1\sqrt{2}) = 4(1 + \sqrt{2})$

$2a_1(1 + \sqrt{2}) = 4(1 + \sqrt{2})$

Разделим обе части уравнения на $2(1 + \sqrt{2})$:

$a_1 = \frac{4}{2} = 2$ см.

Таким образом, меньшая сторона параллелограмма равна 2 см.

Ответ: 2 см.

б)

1. Найдем углы параллелограмма. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Пусть меньший угол равен $y$, тогда больший угол равен $2y$. Составим уравнение:

$y + 2y = 180^\circ$

$3y = 180^\circ$

$y = 60^\circ$

Следовательно, углы параллелограмма равны $60^\circ$ и $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

2. Пусть дан параллелограмм $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$. Пусть острый угол $\angle C = 60^\circ$, а тупой угол $\angle D = 120^\circ$. По условию, диагональ перпендикулярна стороне. Пусть диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $BC$. Это означает, что $\angle CBD = 90^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Его углы: $\angle C = 60^\circ$ (угол параллелограмма), $\angle CBD = 90^\circ$ (по нашему предположению), и, следовательно, третий угол $\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

4. Проверим, соответствует ли такая конфигурация параллелограмму с углами $60^\circ$ и $120^\circ$. Угол $\angle C = 60^\circ$. Найдем смежный с ним угол $\angle D$. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ADB = \angle CBD = 90^\circ$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD, BC$ и секущей $BD$). Тогда полный угол $\angle D$ параллелограмма равен:

$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

Сумма смежных углов $\angle C + \angle D = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Условия задачи выполняются.

5. В прямоугольном треугольнике $\triangle BCD$ сторона $BC$ является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$, а сторона $CD$ — гипотенузой. Пусть $BC=a$ и $CD=b$. Используем определение косинуса:

$\cos(\angle C) = \frac{BC}{CD} \implies \cos(60^\circ) = \frac{a}{b}$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{a}{b} \implies b = 2a$.

Это означает, что одна сторона параллелограмма в два раза больше другой. Следовательно, $b$ — большая сторона, а $a$ — меньшая.

6. Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 30$ см. Подставим $b=2a$:

$2(a + 2a) = 30$

$2(3a) = 30$

$6a = 30$

$a = 5$ см.

Это меньшая сторона. Большая сторона равна $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: 10 см.