Номер 34, страница 182 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

34. a) Одна из сторон параллелограмма равна $3 \text{ см}$, а один из углов — $150^\circ$. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна $6 \text{ см}^2$.

б) Площадь параллелограмма равна $8\sqrt{3} \text{ см}^2$. Найдите периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна $2 \text{ см}$, а один из углов — $120^\circ$.

а)

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма через две стороны и угол между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ – смежные стороны, а $\gamma$ – угол между ними.

По условию, одна из сторон $a = 3$ см, площадь $S = 6$ см², а один из углов равен $150°$. В параллелограмме сумма соседних углов равна $180°$. Следовательно, острый угол параллелограмма равен $180° - 150° = 30°$. Будем использовать его в расчетах.

Подставим известные значения в формулу площади, чтобы найти длину второй стороны $b$:
$S = a \cdot b \cdot \sin(30°)$
$6 = 3 \cdot b \cdot \frac{1}{2}$
$6 = 1.5 \cdot b$
$b = \frac{6}{1.5} = 4$ см.

Периметр параллелограмма $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.
Найдем периметр, зная обе стороны:
$P = 2(3 + 4) = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу площади параллелограмма: $S = a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$.

Из условия известно: площадь $S = 8\sqrt{3}$ см², одна сторона $a = 2$ см, один из углов равен $120°$. Найдем острый угол параллелограмма: $180° - 120° = 60°$.

Подставим известные данные в формулу, чтобы найти вторую сторону $b$:
$S = a \cdot b \cdot \sin(60°)$
$8\sqrt{3} = 2 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$8\sqrt{3} = b \cdot \sqrt{3}$
$b = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Теперь найдем периметр параллелограмма по формуле $P = 2(a+b)$:
$P = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

Ответ: 20 см.