Номер 31, страница 181 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

31. a) $BP$ — высота треугольника $ABC$, точка $E$ — середина стороны $BC$, $AB = 30$, $BC = 26$, $AC = 28$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BPE$.

б) $BH$ — высота треугольника $ABC$, точка $E$ — середина стороны $BC$, $AB = 10\sqrt{10}$, $AC = 26$, $BC = 34$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $BEH$.

а)

Дано: треугольник $ABC$, $BP$ — высота, $E$ — середина стороны $BC$. Стороны треугольника $ABC$: $AB = 30$, $BC = 26$, $AC = 28$. Нужно найти радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $BPE$.

1. Рассмотрим треугольник $BPC$. Так как $BP$ — высота к стороне $AC$, то угол $\angle BPC = 90^{\circ}$. Следовательно, треугольник $BPC$ — прямоугольный.

2. Точка $E$ — середина стороны $BC$, которая является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $BPC$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В данном случае $PE$ является медианой к гипотенузе $BC$. Следовательно, $PE = BE = EC = \frac{1}{2}BC$. Поскольку $BC = 26$, то $PE = BE = \frac{26}{2} = 13$. Таким образом, треугольник $BPE$ является равнобедренным со сторонами $BE = 13$ и $PE = 13$.

3. Для нахождения радиуса описанной окружности нам нужна длина третьей стороны $BP$. Найдем высоту $BP$ треугольника $ABC$. Сначала вычислим площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, зная все три стороны. Полупериметр $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{30 + 26 + 28}{2} = \frac{84}{2} = 42$. Площадь $S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{42(42-30)(42-26)(42-28)} = \sqrt{42 \cdot 12 \cdot 16 \cdot 14}$.$S_{ABC} = \sqrt{(6 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 6) \cdot 16 \cdot (2 \cdot 7)} = \sqrt{6^2 \cdot 7^2 \cdot 2^2 \cdot 4^2} = 6 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4 = 336$.

4. Площадь треугольника также можно выразить через высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BP$.$336 = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot BP \Rightarrow 336 = 14 \cdot BP$.$BP = \frac{336}{14} = 24$.

5. Теперь мы знаем все стороны треугольника $BPE$: $BE = 13$, $PE = 13$, $BP = 24$. Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Найдем площадь треугольника $BPE$. Это равнобедренный треугольник. Его высота, опущенная на основание $BP$, делит его пополам. Длина высоты $h$ из вершины $E$ к стороне $BP$ по теореме Пифагора равна:$h = \sqrt{PE^2 - (\frac{BP}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$. Площадь $S_{BPE} = \frac{1}{2} \cdot BP \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$.

6. Вычисляем радиус описанной окружности:$R = \frac{BE \cdot PE \cdot BP}{4 \cdot S_{BPE}} = \frac{13 \cdot 13 \cdot 24}{4 \cdot 60} = \frac{169 \cdot 24}{240} = \frac{169}{10} = 16,9$.

Ответ: 16,9.

б)

Дано: треугольник $ABC$, $BH$ — высота, $E$ — середина стороны $BC$. Стороны треугольника $ABC$: $AB = 10\sqrt{10}$, $AC = 26$, $BC = 34$. Нужно найти радиус $r$ окружности, вписанной в треугольник $BEH$.

1. Для нахождения радиуса вписанной окружности воспользуемся формулой $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника $BEH$, а $p$ — его полупериметр. Для этого найдем длины сторон треугольника $BEH$.

2. Точка $E$ — середина стороны $BC$.$BE = \frac{1}{2}BC = \frac{34}{2} = 17$.

3. Так как $BH$ — высота к стороне $AC$, то треугольник $BHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. Сторона $BC$ — его гипотенуза. Точка $E$ — середина гипотенузы $BC$, следовательно, $EH$ — медиана, проведенная к гипотенузе. Длина медианы к гипотенузе равна ее половине.$EH = \frac{1}{2}BC = \frac{34}{2} = 17$. Таким образом, треугольник $BEH$ является равнобедренным со сторонами $BE = 17$ и $EH = 17$.

4. Найдем длину третьей стороны — высоты $BH$. Рассмотрим два прямоугольных треугольника $ABH$ и $CBH$. Пусть $AH = x$, тогда $HC = AC - AH = 26 - x$. По теореме Пифагора:В $\triangle ABH$: $BH^2 = AB^2 - AH^2 = (10\sqrt{10})^2 - x^2 = 1000 - x^2$. В $\triangle CBH$: $BH^2 = BC^2 - HC^2 = 34^2 - (26 - x)^2 = 1156 - (676 - 52x + x^2)$. Приравняем выражения для $BH^2$:$1000 - x^2 = 1156 - 676 + 52x - x^2$$1000 = 480 + 52x$$52x = 520$$x = 10$. Итак, $AH = 10$. Теперь найдем $BH$:$BH = \sqrt{1000 - 10^2} = \sqrt{1000 - 100} = \sqrt{900} = 30$.

5. Мы нашли все стороны треугольника $BEH$: $BE = 17$, $EH = 17$, $BH = 30$. Найдем его полупериметр:$p_{BEH} = \frac{17 + 17 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32$.

6. Найдем площадь треугольника $BEH$. Так как он равнобедренный, его высота, опущенная на основание $BH$, делит это основание пополам. Найдем эту высоту $h_E$ по теореме Пифагора:$h_E = \sqrt{BE^2 - (\frac{BH}{2})^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$. Площадь $S_{BEH} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot h_E = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$.

7. Теперь можем найти радиус вписанной окружности:$r = \frac{S_{BEH}}{p_{BEH}} = \frac{120}{32} = \frac{15}{4} = 3,75$.

Ответ: 3,75.