Номер 24, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

24. a) Две меньшие стороны тупоугольного треугольника равны 3 и 8. Площадь треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите длину большей стороны треугольника.

б) Две стороны остроугольного треугольника равны 4 и 3. Площадь треугольника равна $3\sqrt{3}$. Найдите длину третьей стороны треугольника.

а) Пусть даны стороны треугольника $a=3$, $b=8$ и третья сторона $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$ Подставим известные значения: $6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(\gamma)$ $6\sqrt{3} = 12 \sin(\gamma)$ $\sin(\gamma) = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Этому значению синуса соответствуют два угла в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$: $\gamma_1 = 60^\circ$ и $\gamma_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

По условию, треугольник является тупоугольным, а стороны $3$ и $8$ — две меньшие. Это означает, что третья сторона $c$ является большей стороной ($c > 8$). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, следовательно, угол $\gamma$, лежащий напротив стороны $c$, является наибольшим углом треугольника. Так как треугольник тупоугольный, его наибольший угол должен быть тупым (больше $90^\circ$).

Из двух возможных значений для $\gamma$ ($60^\circ$ и $120^\circ$) мы должны выбрать тупой угол, то есть $\gamma = 120^\circ$.

Теперь найдем длину большей стороны $c$ по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ $c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$ Зная, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получаем: $c^2 = 9 + 64 - 48 \cdot (-\frac{1}{2})$ $c^2 = 73 + 24$ $c^2 = 97$ $c = \sqrt{97}$ Длина большей стороны равна $\sqrt{97}$.

Ответ: $\sqrt{97}$

б) Пусть даны стороны треугольника $a=4$, $b=3$ и третья сторона $c$. Угол между сторонами $a$ и $b$ обозначим как $\gamma$. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$ Подставим известные значения: $3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin(\gamma)$ $3\sqrt{3} = 6 \sin(\gamma)$ $\sin(\gamma) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Возможные значения для угла $\gamma$: $\gamma_1 = 60^\circ$ и $\gamma_2 = 120^\circ$.

По условию, треугольник является остроугольным. Это означает, что все его углы должны быть острыми (меньше $90^\circ$). Следовательно, угол $\gamma$ не может быть равен $120^\circ$. Таким образом, мы выбираем $\gamma = 60^\circ$.

Найдем длину третьей стороны $c$ по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$ $c^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$ Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $c^2 = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 25 - 12$ $c^2 = 13$ $c = \sqrt{13}$

Проверим, является ли треугольник со сторонами $3, 4, \sqrt{13}$ остроугольным. Для этого квадрат большей стороны должен быть меньше суммы квадратов двух других сторон. Наибольшая сторона — 4. $3^2 + (\sqrt{13})^2$ ? $4^2$ $9 + 13$ ? $16$ $22 > 16$ Поскольку $c_{max}^2 < a^2 + b^2$, то угол, противолежащий стороне 4, острый. Так как это самый большой угол, все углы треугольника острые. Условие выполняется.

Ответ: $\sqrt{13}$