Номер 22, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

22. a) Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника со сторонами 36 см и 18 см.

б) Найдите диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника со сторонами 8 см и 20 см.

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 36 см и 18 см. Существует два возможных варианта набора сторон: боковые стороны по 36 см и основание 18 см, либо боковые стороны по 18 см и основание 36 см. Необходимо проверить неравенство треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. Для варианта со сторонами 18 см, 18 см и 36 см имеем: $18 + 18 = 36$. Это не удовлетворяет строгому неравенству ($36 \ngtr 36$), следовательно, такой треугольник не существует (является вырожденным). Таким образом, у треугольника боковые стороны равны 36 см, а основание — 18 см.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, находится по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. В нашем случае стороны равны $a=36$ см, $b=36$ см, $c=18$ см.

Для нахождения площади $S$ вычислим высоту $h$, проведенную к основанию ($c=18$ см). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и делит основание пополам. Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 36 см и катетом $18/2 = 9$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет, который является высотой $h$:
$h = \sqrt{36^2 - 9^2} = \sqrt{(36-9)(36+9)} = \sqrt{27 \cdot 45} = \sqrt{1215} = \sqrt{81 \cdot 15} = 9\sqrt{15}$ см.

Площадь треугольника равна:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9\sqrt{15} = 81\sqrt{15}$ см².

Теперь подставим значения сторон и площади в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{36 \cdot 36 \cdot 18}{4 \cdot 81\sqrt{15}} = \frac{23328}{324\sqrt{15}} = \frac{72}{\sqrt{15}}$ см.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$R = \frac{72\sqrt{15}}{15} = \frac{24\sqrt{15}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{24\sqrt{15}}{5}$ см.

б) Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами 8 см и 20 см. Возможны два варианта набора сторон: боковые стороны по 20 см и основание 8 см, либо боковые стороны по 8 см и основание 20 см. Проверим неравенство треугольника для второго варианта: сумма двух боковых сторон $8+8=16$ см, что меньше третьей стороны 20 см ($16 \ngtr 20$). Такой треугольник не существует. Следовательно, боковые стороны треугольника равны 20 см, а основание — 8 см.

Требуется найти диаметр $D$ описанной окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу: $D = 2R$. Радиус $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Стороны нашего треугольника: $a=20$ см, $b=20$ см, $c=8$ см.

Найдем площадь треугольника $S$. Сначала вычислим высоту $h$, проведенную к основанию ($c=8$ см). Высота делит основание на два отрезка по $8/2 = 4$ см. По теореме Пифагора:
$h = \sqrt{20^2 - 4^2} = \sqrt{400 - 16} = \sqrt{384}$ см.

Упростим корень: $\sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см. Площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{6} = 32\sqrt{6}$ см².

Теперь найдем радиус описанной окружности:
$R = \frac{20 \cdot 20 \cdot 8}{4 \cdot 32\sqrt{6}} = \frac{3200}{128\sqrt{6}} = \frac{25}{\sqrt{6}}$ см.

Диаметр окружности равен:
$D = 2R = 2 \cdot \frac{25}{\sqrt{6}} = \frac{50}{\sqrt{6}}$ см.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$D = \frac{50\sqrt{6}}{6} = \frac{25\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{25\sqrt{6}}{3}$ см.