Номер 16, страница 177 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16. а) Одна из сторон треугольника равна 26 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны 30 см и 39 см. Найдите площадь треугольника.

б) Одна из сторон треугольника равна 20 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны 18 см и 24 см. Найдите площадь треугольника.

а) Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a = 26$ см. Медианы, проведенные к двум другим сторонам ( $AC$ и $AB$ ), равны $m_b = 30$ см и $m_c = 39$ см. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), обозначим ее $O$. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Рассмотрим треугольник $BOC$. Его стороны образованы стороной $BC$ и отрезками медиан $BO$ и $CO$. Длины сторон этого треугольника равны:
$BC = a = 26$ см
$BO = \frac{2}{3}m_b = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ см
$CO = \frac{2}{3}m_c = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26$ см
Площадь треугольника, образованного двумя вершинами и центроидом, составляет одну треть от площади всего треугольника. Таким образом, $S_{ABC} = 3 \cdot S_{BOC}$.
Найдем площадь треугольника $BOC$ со сторонами 26, 20, 26, используя формулу Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{26 + 20 + 26}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см.
Теперь вычислим площадь $S_{BOC}$: $S_{BOC} = \sqrt{p(p-BC)(p-BO)(p-CO)} = \sqrt{36(36-26)(36-20)(36-26)}$
$S_{BOC} = \sqrt{36 \cdot 10 \cdot 16 \cdot 10} = \sqrt{57600} = 240$ см².
Следовательно, площадь искомого треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = 3 \cdot S_{BOC} = 3 \cdot 240 = 720$ см².
Ответ: 720 см².

б) Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a = 20$ см, а медианы, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$, равны $m_b = 18$ см и $m_c = 24$ см.
Медианы пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $BOC$, стороны которого равны:
$BC = a = 20$ см
$BO = \frac{2}{3}m_b = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ см
$CO = \frac{2}{3}m_c = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см
Мы получили треугольник со сторонами 12, 16 и 20 см. Проверим, является ли он прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
$20^2 = 400$.
Поскольку $12^2 + 16^2 = 20^2$, треугольник $BOC$ является прямоугольным с катетами 12 см и 16 см и гипотенузой 20 см.
Площадь прямоугольного треугольника $BOC$ равна половине произведения его катетов: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см².
Площадь исходного треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BOC$: $S_{ABC} = 3 \cdot S_{BOC} = 3 \cdot 96 = 288$ см².
Ответ: 288 см².