Номер 11, страница 176 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11. a) Катет прямоугольного треугольника равен 18 см. Точка, принадлежащая данному катету, находится на расстоянии 8 см от гипотенузы и от другого катета. Найдите периметр треугольника.

б) Точка, принадлежащая катету прямоугольного треугольника, делит его в отношении 3 : 5, считая от вершины прямого угла, и равноудалена от гипотенузы и другого катета. Найдите периметр данного треугольника, если гипотенуза равна 30 см.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$.
По условию, один из катетов равен 18 см. Пусть $AC = 18$ см.
На катете $AC$ выбрана точка $D$, которая находится на расстоянии 8 см от гипотенузы $AB$ и от другого катета $BC$.
Расстояние от точки $D$ до катета $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на прямую $BC$. Так как $AC \perp BC$, этим перпендикуляром является отрезок $DC$. Таким образом, $DC = 8$ см.
Поскольку точка $D$ лежит на катете $AC$, мы можем найти длину отрезка $AD$:
$AD = AC - DC = 18 - 8 = 10$ см.
Расстояние от точки $D$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра $DE$, опущенного из точки $D$ на гипотенузу $AB$. По условию, $DE = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADE$ (угол $E$ прямой). Мы знаем его гипотенузу $AD = 10$ см и катет $DE = 8$ см.
Треугольники $ADE$ и $ABC$ подобны, так как они оба прямоугольные и имеют общий острый угол $A$.
Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:
$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
Воспользуемся тригонометрическими функциями. В треугольнике $ADE$:
$\sin(\angle A) = \frac{DE}{AD} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\angle A) + \cos^2(\angle A) = 1$, найдем косинус угла $A$:
$\cos(\angle A) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle A)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ (так как угол $A$ острый, его косинус положителен).
Теперь рассмотрим большой треугольник $ABC$. Зная $\sin(\angle A)$ и $\cos(\angle A)$, а также длину катета $AC=18$ см, найдем остальные стороны.
$\cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} \implies \frac{3}{5} = \frac{18}{AB} \implies AB = \frac{18 \cdot 5}{3} = 30$ см.
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$. При этом $\tan(\angle A) = \frac{\sin(\angle A)}{\cos(\angle A)} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.
$\frac{BC}{18} = \frac{4}{3} \implies BC = \frac{18 \cdot 4}{3} = 24$ см.
Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:
$P = AC + BC + AB = 18 + 24 + 30 = 72$ см.

Ответ: 72 см.

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Катеты — $AC$ и $BC$, гипотенуза — $AB$. По условию, $AB = 30$ см.
На одном из катетов, например на $AC$, находится точка $D$, которая делит его в отношении $3:5$, считая от вершины прямого угла $C$. Таким образом, $CD:DA = 3:5$.
Обозначим $CD = 3x$ и $DA = 5x$. Тогда весь катет $AC = CD + DA = 3x + 5x = 8x$.
Точка $D$ равноудалена от гипотенузы $AB$ и другого катета $BC$.
Расстояние от $D$ до катета $BC$ — это длина отрезка $CD$, так как $AC \perp BC$. Значит, это расстояние равно $3x$.
Расстояние от $D$ до гипотенузы $AB$ — это длина перпендикуляра $DE$, опущенного из $D$ на $AB$.
По условию, эти расстояния равны: $DE = CD = 3x$.
Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$. Они оба прямоугольные ($\angle AED = 90^\circ$, $\angle ACB = 90^\circ$) и имеют общий острый угол $A$. Следовательно, треугольники подобны: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{DE}{BC} = \frac{DA}{AB}$
Подставим известные значения и выражения:
$\frac{3x}{BC} = \frac{5x}{30}$
Сократив на $x$ (так как $x \ne 0$, иначе треугольник вырождается), получим:
$\frac{3}{BC} = \frac{5}{30} \implies \frac{3}{BC} = \frac{1}{6}$
Отсюда находим катет $BC$:
$BC = 3 \cdot 6 = 18$ см.
Теперь, зная гипотенузу $AB=30$ см и катет $BC=18$ см, найдем второй катет $AC$ по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$:
$AC^2 + 18^2 = 30^2$
$AC^2 + 324 = 900$
$AC^2 = 900 - 324 = 576$
$AC = \sqrt{576} = 24$ см.
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
$P = AC + BC + AB = 24 + 18 + 30 = 72$ см.
(Заметим, что если бы точка $D$ лежала на катете $BC$, то мы бы получили $AC = 18$ см и $BC = 24$ см, что не изменило бы периметр).

Ответ: 72 см.