Номер 8, страница 175 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

8. a) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна $2\sqrt{7}$ и делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 12. Найдите площадь треугольника.

б) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки, разность длин которых равна 10. Найдите площадь треугольника, если меньший катет равен $2\sqrt{7}$.

а) Пусть $h$ — высота, проведенная к гипотенузе, а $c_1$ и $c_2$ — отрезки, на которые высота делит гипотенузу. По условию, $h = 2\sqrt{7}$, а разность длин отрезков равна 12. Предположим, что $c_1$ — больший отрезок, тогда $c_1 - c_2 = 12$.
В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу (отрезков $c_1$ и $c_2$): $h^2 = c_1 \cdot c_2$
Подставим известное значение высоты: $(2\sqrt{7})^2 = c_1 \cdot c_2$
$4 \cdot 7 = c_1 \cdot c_2$
$28 = c_1 \cdot c_2$
Получаем систему уравнений: $\begin{cases} c_1 - c_2 = 12 \\ c_1 \cdot c_2 = 28 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $c_1 = 12 + c_2$ и подставим во второе: $(12 + c_2) \cdot c_2 = 28$
$c_2^2 + 12c_2 - 28 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$.
$c_2 = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-12 \pm 16}{2}$
Так как длина отрезка является положительной величиной, выбираем корень $c_2 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Тогда второй отрезок $c_1 = 12 + c_2 = 12 + 2 = 14$.
Длина всей гипотенузы $c$ равна сумме ее отрезков: $c = c_1 + c_2 = 14 + 2 = 16$.
Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} c \cdot h$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = 16\sqrt{7}$.

Ответ: $16\sqrt{7}$.

б) Пусть в прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $h$ — высота, проведенная к гипотенузе. Высота делит гипотенузу на отрезки $c_1$ и $c_2$. Пусть $c_1 > c_2$. По условию, разность длин отрезков $c_1 - c_2 = 10$. Меньший катет, пусть это будет $a$, равен $2\sqrt{7}$.
В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Меньшему катету соответствует меньшая проекция ($c_2$). Таким образом, имеем соотношение: $a^2 = c_2 \cdot c$.
Длина гипотенузы $c = c_1 + c_2$. Из условия $c_1 - c_2 = 10$ выразим $c_1 = 10 + c_2$. Подставим в формулу для гипотенузы: $c = (10 + c_2) + c_2 = 10 + 2c_2$.
Теперь подставим известные значения в формулу для катета: $a^2 = c_2 \cdot c$
$(2\sqrt{7})^2 = c_2 \cdot (10 + 2c_2)$
$28 = 10c_2 + 2c_2^2$
$2c_2^2 + 10c_2 - 28 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $c_2^2 + 5c_2 - 14 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -14. Корни: $2$ и $-7$. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, $c_2 = 2$.
Тогда больший отрезок $c_1 = 10 + c_2 = 10 + 2 = 12$.
Гипотенуза $c = c_1 + c_2 = 12 + 2 = 14$.
Теперь, зная катет $a = 2\sqrt{7}$ и гипотенузу $c=14$, найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$(2\sqrt{7})^2 + b^2 = 14^2$
$28 + b^2 = 196$
$b^2 = 196 - 28 = 168$
$b = \sqrt{168} = \sqrt{4 \cdot 42} = 2\sqrt{42}$.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{42} = 2\sqrt{7 \cdot 42} = 2\sqrt{7 \cdot 6 \cdot 7} = 2\sqrt{7^2 \cdot 6} = 2 \cdot 7\sqrt{6} = 14\sqrt{6}$.

Ответ: $14\sqrt{6}$.