Номер 1, страница 174 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1. a) Величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию. Найдите наибольший из углов, если наименьший по величине угол равен $50^\circ$.

б) Наибольший из углов треугольника в 11 раз больше наименьшего угла. Найдите наименьший по величине угол треугольника, если известно, что величины углов треугольника составляют арифметическую прогрессию.

а)

Пусть три угла треугольника составляют арифметическую прогрессию. Обозначим их как $a_1$, $a_2$, $a_3$. В случае арифметической прогрессии эти углы можно представить в виде $\alpha$, $\alpha+d$ и $\alpha+2d$, где $\alpha$ — первый член прогрессии (наименьший угол), а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, наименьший по величине угол равен $50°$. Следовательно, $\alpha = 50°$.

Таким образом, углы треугольника равны $50°$, $50°+d$ и $50°+2d$.

Известно, что сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Составим и решим уравнение:

$50 + (50 + d) + (50 + 2d) = 180$

$150 + 3d = 180$

$3d = 180 - 150$

$3d = 30$

$d = 10°$

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти все углы:

• Наименьший угол: $\alpha = 50°$
• Средний угол: $\alpha + d = 50° + 10° = 60°$
• Наибольший угол: $\alpha + 2d = 50° + 2 \cdot 10° = 70°$

Вопрос задачи — найти наибольший из углов. Наибольший угол равен $70°$.

Ответ: $70°$.

б)

Пусть углы треугольника, составляющие арифметическую прогрессию, равны $\alpha - d$, $\alpha$ и $\alpha + d$, где $\alpha$ — средний по величине угол, а $d$ — положительная разность прогрессии.

Сумма углов треугольника равна $180°$. Запишем это в виде уравнения:

$(\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 180$

Упростив левую часть, получаем:

$3\alpha = 180$

$\alpha = \frac{180}{3} = 60°$

Это означает, что средний угол треугольника равен $60°$. Тогда наименьший угол равен $60° - d$, а наибольший — $60° + d$.

По условию задачи, наибольший угол в 11 раз больше наименьшего. Составим уравнение на основе этого условия:

$60 + d = 11 \cdot (60 - d)$

Теперь решим это уравнение относительно $d$:

$60 + d = 660 - 11d$

$d + 11d = 660 - 60$

$12d = 600$

$d = \frac{600}{12}$

$d = 50°$

Задача требует найти наименьший по величине угол. Подставим найденное значение $d$ в выражение для наименьшего угла:

Наименьший угол = $60° - d = 60° - 50° = 10°$.

Углы треугольника равны $10°$, $60°$ и $110°$. Проверим: $110 = 11 \cdot 10$, условие выполняется. Сумма углов: $10+60+110=180°$.

Ответ: $10°$.