Номер 6, страница 175 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

6. а) Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями прямоугольного треугольника с гипотенузой $26 \text{ см}$ и катетом $24 \text{ см}$.

б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна $8,5 \text{ см}$, а один из катетов этого треугольника — $8 \text{ см}$. Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник. Его гипотенуза равна $c = 26$ см, а один из катетов, например, $a = 24$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 24^2$

Используя формулу разности квадратов:

$b^2 = (26-24)(26+24) = 2 \cdot 50 = 100$

$b = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь исходного прямоугольного треугольника $S$ равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$ см².

Треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному треугольнику. Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть $k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Следовательно, площадь искомого треугольника $S_{сред}$ составляет одну четвертую площади исходного треугольника:

$S_{сред} = \frac{1}{4} \cdot S = \frac{1}{4} \cdot 120 = 30$ см².

Ответ: 30 см².

б)

Пусть дан прямоугольный треугольник. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна $m_c = 8,5$ см. По свойству прямоугольного треугольника, медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Таким образом, гипотенуза $c$ равна:

$c = 2 \cdot m_c = 2 \cdot 8,5 = 17$ см.

Известно, что один из катетов равен $a = 8$ см. Найдем второй катет $b$ по теореме Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$:

$b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$b = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь исходного прямоугольного треугольника $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см².

Как и в предыдущем пункте, площадь треугольника, образованного средними линиями, составляет $\frac{1}{4}$ от площади исходного треугольника:

$S_{сред} = \frac{1}{4} \cdot S = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ см².

Ответ: 15 см².