Номер 16.20, страница 173 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.20. К двум окружностям радиусами 3 и 1, касающимся внешним образом, проведена общая внешняя касательная. Найдите площадь фигуры, ограниченной окружностями и касательной.

Пусть центры окружностей — $O_1$ и $O_2$, а их радиусы — $R=3$ и $r=1$ соответственно. Поскольку окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $O_1O_2 = R + r = 3 + 1 = 4$.

Пусть общая внешняя касательная $l$ касается окружностей в точках $A$ и $B$. Искомая фигура ограничена отрезком касательной $AB$ и дугами окружностей.

Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания. Радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной, поэтому $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Это означает, что $O_1A \parallel O_2B$, и четырехугольник $O_1ABO_2$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A=3$ и $O_2B=1$.

Площадь искомой фигуры можно найти как разность площади трапеции $O_1ABO_2$ и площадей двух круговых секторов, отсекаемых от окружностей.

1. Найдем площадь трапеции $O_1ABO_2$.

Для этого нужно найти ее высоту, равную длине отрезка $AB$. Проведем из точки $O_2$ высоту $O_2C$ на основание $O_1A$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle O_1CO_2$.

В этом треугольнике:

• гипотенуза $O_1O_2 = 4$;
• катет $O_1C = O_1A - CA = O_1A - O_2B = R - r = 3 - 1 = 2$.

По теореме Пифагора найдем второй катет $O_2C$:
$O_2C = \sqrt{O_1O_2^2 - O_1C^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Высота трапеции $AB = O_2C = 2\sqrt{3}$.

Площадь трапеции $O_1ABO_2$ равна:
$S_{трап} = \frac{O_1A + O_2B}{2} \cdot AB = \frac{3 + 1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

2. Найдем площади круговых секторов.

Для этого найдем центральные углы этих секторов: $\angle AO_1O_2$ и $\angle BO_2O_1$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle O_1CO_2$ найдем угол $\angle CO_1O_2$ (обозначим его $\alpha$), который равен углу сектора в большой окружности:
$\cos(\alpha) = \frac{O_1C}{O_1O_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$ радиан.

Угол сектора в малой окружности (обозначим его $\beta$) можно найти, зная, что сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Таким образом, $\angle AO_1O_2 + \angle BO_2O_1 = \pi$.
$\beta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Теперь вычислим площади секторов по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2}r^2\theta$:

• Площадь сектора в большой окружности: $S_1 = \frac{1}{2}R^2\alpha = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.
• Площадь сектора в малой окружности: $S_2 = \frac{1}{2}r^2\beta = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

3. Найдем площадь искомой фигуры.

Площадь фигуры $S$ равна площади трапеции минус сумма площадей секторов:
$S = S_{трап} - (S_1 + S_2) = 4\sqrt{3} - \left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, искомая площадь равна:
$S = 4\sqrt{3} - \frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $4\sqrt{3} - \frac{11\pi}{6}$.