Номер 16.17, страница 173 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.17. a) Три окружности радиусами 2 см, 4 см, 6 см попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите длину окружности, которая проходит через все три точки касания этих окружностей.

б) Три круга радиусами 2 см, 3 см, 10 см попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь круга, который проходит через все три точки касания этих окружностей.

а)

Обозначим центры трех окружностей как $O_1, O_2, O_3$, а их радиусы как $r_1=2$ см, $r_2=4$ см и $r_3=6$ см соответственно.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, их центры образуют треугольник $O_1O_2O_3$. Длины сторон этого треугольника равны суммам соответствующих радиусов:

• $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$ см
• $O_1O_3 = r_1 + r_3 = 2 + 6 = 8$ см
• $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10$ см

Проверим, является ли треугольник $O_1O_2O_3$ прямоугольным, используя теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:

$(O_1O_2)^2 + (O_1O_3)^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$(O_2O_3)^2 = 10^2 = 100$

Так как $(O_1O_2)^2 + (O_1O_3)^2 = (O_2O_3)^2$, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O_1$.

Обозначим точки касания окружностей как $A$ (между $O_2$ и $O_3$), $B$ (между $O_1$ и $O_3$) и $C$ (между $O_1$ и $O_2$). Нам нужно найти длину окружности, проходящей через эти три точки. Для этого найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$.

Воспользуемся координатным методом. Разместим вершину с прямым углом $O_1$ в начале координат $(0,0)$, а катеты $O_1O_2$ и $O_1O_3$ вдоль осей $Ox$ и $Oy$ соответственно.

• Координаты центра $O_1$: $(0, 0)$
• Координаты центра $O_2$: $(6, 0)$
• Координаты центра $O_3$: $(0, 8)$

Точки касания лежат на отрезках, соединяющих центры. Найдем их координаты:

• Точка $C$ лежит на отрезке $O_1O_2$ на расстоянии $r_1$ от $O_1$. Ее координаты: $C(2, 0)$.
• Точка $B$ лежит на отрезке $O_1O_3$ на расстоянии $r_1$ от $O_1$. Ее координаты: $B(0, 2)$.
• Точка $A$ лежит на гипотенузе $O_2O_3$ и делит ее в отношении $r_2:r_3 = 4:6 = 2:3$. Используя формулу деления отрезка в данном отношении, найдем координаты точки $A$:
  $x_A = \frac{3 \cdot x_{O_2} + 2 \cdot x_{O_3}}{2+3} = \frac{3 \cdot 6 + 2 \cdot 0}{5} = \frac{18}{5}$
  $y_A = \frac{3 \cdot y_{O_2} + 2 \cdot y_{O_3}}{2+3} = \frac{3 \cdot 0 + 2 \cdot 8}{5} = \frac{16}{5}$
  Таким образом, $A(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$.

Теперь найдем радиус $R$ описанной окружности треугольника $ABC$. Пусть центр этой окружности имеет координаты $(h, k)$. Расстояние от центра до каждой из вершин равно $R$.

Из равенства расстояний $(h, k)$ до точек $B(0, 2)$ и $C(2, 0)$ следует, что центр лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$. Уравнение этого перпендикуляра — $y=x$, поэтому $h=k$.

Найдем радиус, используя точку $C(2, 0)$ и центр $(h, h)$: $R^2 = (h-2)^2 + (h-0)^2$.

Теперь используем точку $A(\frac{18}{5}, \frac{16}{5})$:

$R^2 = (h - \frac{18}{5})^2 + (h - \frac{16}{5})^2$

Приравниваем правые части двух выражений для $R^2$:

$(h-2)^2 + h^2 = (h - \frac{18}{5})^2 + (h - \frac{16}{5})^2$

$h^2 - 4h + 4 + h^2 = h^2 - \frac{36}{5}h + \frac{324}{25} + h^2 - \frac{32}{5}h + \frac{256}{25}$

$-4h + 4 = -\frac{68}{5}h + \frac{580}{25}$

$-4h + 4 = -\frac{68}{5}h + \frac{116}{5}$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателей:

$-20h + 20 = -68h + 116$

$48h = 96$

$h = 2$

Центр описанной окружности — точка $(2, 2)$. Найдем ее радиус $R$:

$R^2 = (2-2)^2 + (2-0)^2 = 0^2 + 2^2 = 4$. Таким образом, $R = 2$ см.

Длина искомой окружности $L$ равна:

$L = 2\pi R = 2\pi(2) = 4\pi$ см.

Ответ: $4\pi$ см.

б)

Аналогично пункту а), обозначим центры кругов как $O_1, O_2, O_3$, а их радиусы как $r_1=2$ см, $r_2=3$ см и $r_3=10$ см.

Центры образуют треугольник $O_1O_2O_3$ со сторонами:

• $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$ см
• $O_1O_3 = r_1 + r_3 = 2 + 10 = 12$ см
• $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 3 + 10 = 13$ см

Проверим этот треугольник на прямоугольность:

$(O_1O_2)^2 + (O_1O_3)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$(O_2O_3)^2 = 13^2 = 169$

Так как $(O_1O_2)^2 + (O_1O_3)^2 = (O_2O_3)^2$, треугольник $O_1O_2O_3$ также является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

Точки касания $A, B, C$ образуют треугольник, для которого нужно найти площадь описанного круга. Это требует нахождения радиуса $R$ описанной окружности $\triangle ABC$.

Используем тот же координатный метод, что и в пункте а). Разместим вершину $O_1$ в начале координат $(0,0)$.

• Координаты центра $O_1$: $(0, 0)$
• Координаты центра $O_2$: $(5, 0)$
• Координаты центра $O_3$: $(0, 12)$

Найдем координаты точек касания:

• Точка $C$ на $O_1O_2$: $C(2, 0)$.
• Точка $B$ на $O_1O_3$: $B(0, 2)$.
• Точка $A$ на $O_2O_3$ делит отрезок в отношении $r_2:r_3 = 3:10$:
  $x_A = \frac{10 \cdot x_{O_2} + 3 \cdot x_{O_3}}{3+10} = \frac{10 \cdot 5 + 3 \cdot 0}{13} = \frac{50}{13}$
  $y_A = \frac{10 \cdot y_{O_2} + 3 \cdot y_{O_3}}{3+10} = \frac{10 \cdot 0 + 3 \cdot 12}{13} = \frac{36}{13}$
  Таким образом, $A(\frac{50}{13}, \frac{36}{13})$.

Треугольник $ABC$ имеет те же вершины $B$ и $C$, что и в пункте а). Следовательно, центр его описанной окружности также лежит на прямой $y=x$. Проводя вычисления, аналогичные пункту а), мы снова получим, что центр описанной окружности — точка $(2, 2)$.

Проверим, что точка $A(\frac{50}{13}, \frac{36}{13})$ лежит на окружности с центром $(2,2)$ и радиусом $R=2$ (т.е. $R^2=4$):

$(\frac{50}{13} - 2)^2 + (\frac{36}{13} - 2)^2 = (\frac{50-26}{13})^2 + (\frac{36-26}{13})^2 = (\frac{24}{13})^2 + (\frac{10}{13})^2 = \frac{576}{169} + \frac{100}{169} = \frac{676}{169} = 4$

Это подтверждает, что радиус описанной окружности $R=2$ см.

Площадь искомого круга $S$ равна:

$S = \pi R^2 = \pi(2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Ответ: $4\pi$ см$^2$.