Номер 3, страница 174 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

3. a) В треугольнике проведены две биссектрисы. Один из углов, образованных при их пересечении, равен $115^\circ$. Найдите угол треугольника, из вершины которого не проведена биссектриса.

б) Один из углов треугольника равен $106^\circ$. Из вершин двух других углов проведены биссектрисы треугольника. Найдите острый угол, который образуется при их пересечении.

а)

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведены биссектрисы из вершин $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $O$. Угол, из вершины которого не проведена биссектриса, — это $\angle C$. Нам нужно его найти.

При пересечении биссектрис образуются два смежных угла, один из которых острый, а другой тупой (если биссектрисы не перпендикулярны). По условию, один из этих углов равен $115^\circ$. Это тупой угол. Этот угол ($\angle AOB$) находится внутри треугольника $AOB$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его углов равна $180^\circ$:

$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$

Так как $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ соответственно, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle OBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Подставим это в уравнение суммы углов треугольника $AOB$:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AOB = 180^\circ$

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + \angle AOB = 180^\circ$

Из основного треугольника $ABC$ мы знаем, что сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Отсюда можно выразить сумму углов $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Подставим это выражение в предыдущее уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ - \angle C) + \angle AOB = 180^\circ$

$90^\circ - \frac{1}{2}\angle C + \angle AOB = 180^\circ$

Выразим $\angle AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C$

Эта формула показывает, что угол между биссектрисами, лежащий напротив третьей вершины, всегда тупой (поскольку $\angle C > 0$). Следовательно, именно этот угол и равен $115^\circ$.

$115^\circ = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C$

$\frac{1}{2}\angle C = 115^\circ - 90^\circ$

$\frac{1}{2}\angle C = 25^\circ$

$\angle C = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$

Таким образом, угол треугольника, из вершины которого не проведена биссектриса, равен $50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$

б)

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, один из его углов равен $106^\circ$. Пусть это будет $\angle A = 106^\circ$. Из вершин двух других углов, $B$ и $C$, проведены биссектрисы. Пусть они пересекаются в точке $O$. Нам нужно найти острый угол, который образуется при их пересечении.

Сначала найдем сумму углов $B$ и $C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$106^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle B + \angle C = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $BOC$, образованный биссектрисами и стороной $BC$. Сумма углов в этом треугольнике также равна $180^\circ$:

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

Поскольку $BO$ и $CO$ — биссектрисы, то $\angle OBC = \frac{1}{2}\angle B$ и $\angle OCB = \frac{1}{2}\angle C$.

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{1}{2}\angle B + \frac{1}{2}\angle C + \angle BOC = 180^\circ$

$\frac{1}{2}(\angle B + \angle C) + \angle BOC = 180^\circ$

Мы уже нашли, что $\angle B + \angle C = 74^\circ$. Подставим это значение:

$\frac{1}{2}(74^\circ) + \angle BOC = 180^\circ$

$37^\circ + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle BOC = 180^\circ - 37^\circ = 143^\circ$

Угол $\angle BOC$ является одним из углов, образованных при пересечении биссектрис. Он тупой. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, которые в сумме дают $180^\circ$. Чтобы найти острый угол, нужно вычесть найденный тупой угол из $180^\circ$.

Острый угол $= 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$.

Следовательно, острый угол, который образуется при пересечении биссектрис, равен $37^\circ$.

Ответ: $37^\circ$