Номер 16.18, страница 173 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.18. Найдите площадь круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной 6, вписан квадрат со стороной 2 (две вершины квадрата лежат на дуге сегмента, две — на хорде).

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть центр круга находится в начале координат $O(0, 0)$. Тогда уравнение окружности, ограничивающей круг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус круга.

Хорда, ограничивающая сегмент, имеет длину 6. Расположим ее параллельно оси $Ox$. В силу симметрии, середина хорды будет лежать на оси $Oy$. Пусть уравнение прямой, на которой лежит хорда, будет $y=d$. Тогда концы хорды будут иметь координаты $A(-3, d)$ и $B(3, d)$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставим координаты точки $B$:$3^2 + d^2 = R^2$$R^2 = 9 + d^2$

В сегмент вписан квадрат со стороной 2. Две его вершины лежат на хорде $y=d$, а две другие — на дуге окружности. В силу симметрии, квадрат расположен симметрично относительно оси $Oy$. Вершины, лежащие на хорде, будут иметь координаты $C(-1, d)$ и $D(1, d)$, так как расстояние между ними равно стороне квадрата, то есть 2.

Две другие вершины, $E$ и $F$, лежат на дуге и находятся на расстоянии 2 от хорды (высота квадрата равна его стороне). Следовательно, их координаты будут $E(-1, d+2)$ и $F(1, d+2)$.

Так как вершины $E$ и $F$ лежат на окружности, их координаты также удовлетворяют ее уравнению. Подставим координаты точки $F$:$1^2 + (d+2)^2 = R^2$$R^2 = 1 + (d+2)^2$

Теперь у нас есть система двух уравнений для нахождения $d$ и $R^2$:$\begin{cases} R^2 = 9 + d^2 \\ R^2 = 1 + (d+2)^2 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:$9 + d^2 = 1 + (d+2)^2$$9 + d^2 = 1 + d^2 + 4d + 4$$9 + d^2 = 5 + d^2 + 4d$$9 = 5 + 4d$$4d = 4$$d = 1$

Теперь найдем квадрат радиуса, подставив значение $d=1$ в первое уравнение:$R^2 = 9 + 1^2 = 10$

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставив найденное значение $R^2$, получаем:$S = \pi \cdot 10 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$.