Номер 16.14, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.14. a) Найдите площадь сегмента круга, диаметр которого равен 8 см, если хорда, ограничивающая этот сегмент, равна 4 см.

б) Найдите площадь сегмента круга, диаметр которого равен 6 см, если хорда, ограничивающая этот сегмент, равна $3\sqrt{2}$ см.

а)

Площадь сегмента круга ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность площади соответствующего сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и хордой, ограничивающей сегмент. Формула для вычисления: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$.

1. Сначала найдем радиус круга. Диаметр $d = 8$ см, следовательно, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

2. Рассмотрим треугольник, который образован двумя радиусами и хордой. Длины его сторон равны радиусу $R=4$ см, радиусу $R=4$ см и длине хорды $c=4$ см. Так как все три стороны равны, этот треугольник является равносторонним.

3. Центральный угол $\alpha$, который стягивает хорда, является углом в равностороннем треугольнике, а значит $\alpha = 60^{\circ}$.

4. Вычислим площадь сектора по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360^{\circ}} \cdot \alpha$.
$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 4^2}{360^{\circ}} \cdot 60^{\circ} = \frac{16\pi}{6} = \frac{8\pi}{3}$ см$^2$.

5. Вычислим площадь равностороннего треугольника со стороной $a=R=4$ см по формуле $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{\triangle} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см$^2$.

6. Теперь найдем искомую площадь сегмента.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = (\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3})$ см$^2$.

б)

Решение аналогично предыдущему пункту: находим площадь сегмента как разность площадей сектора и треугольника.

1. Найдем радиус круга. При диаметре $d = 6$ см, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

2. Рассмотрим треугольник со сторонами, равными двум радиусам ($R=3$ см) и хорде ($c=3\sqrt{2}$ см). Найдем центральный угол $\alpha$ между радиусами с помощью теоремы косинусов: $c^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(\alpha)$.
$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(\alpha)$
$18 = 9 + 9 - 18 \cos(\alpha)$
$18 = 18 - 18 \cos(\alpha)$
$18 \cos(\alpha) = 0$, отсюда $\cos(\alpha) = 0$.
Это значит, что центральный угол $\alpha = 90^{\circ}$.

3. Вычислим площадь сектора с центральным углом $90^{\circ}$.
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2}{360^{\circ}} \cdot \alpha = \frac{\pi \cdot 3^2}{360^{\circ}} \cdot 90^{\circ} = \frac{9\pi}{4}$ см$^2$.

4. Треугольник, у которого угол между двумя равными сторонами (радиусами) равен $90^{\circ}$, является прямоугольным равнобедренным треугольником. Его площадь равна половине произведения катетов (радиусов).
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}$ см$^2$.

5. Найдем площадь сегмента.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = (\frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2})$ см$^2$.

Ответ: $(\frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2})$ см$^2$.