Номер 16.8, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.8. а) Найдите градусную меру дуги окружности радиусом 10, если длина этой дуги равна $4\pi$.
б) Найдите градусную меру сектора круга радиусом 6, если площадь этого сектора равна $8\pi$.

а)

Для нахождения градусной меры дуги окружности используется формула длины дуги, которая связывает длину дуги $L$, радиус окружности $R$ и центральный угол $\alpha$ в градусах.

Формула длины дуги: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$.

В условии даны следующие значения:

• Радиус окружности $R = 10$.
• Длина дуги $L = 4\pi$.

Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $\alpha$: $4\pi = \frac{\pi \cdot 10 \cdot \alpha}{180^\circ}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения: $4 = \frac{10 \alpha}{180}$

Сократим дробь в правой части: $4 = \frac{\alpha}{18}$

Чтобы найти $\alpha$, умножим обе части уравнения на 18: $\alpha = 4 \cdot 18$ $\alpha = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$.

б)

Для нахождения градусной меры сектора круга используется формула площади сектора, которая связывает площадь сектора $S$, радиус круга $R$ и центральный угол $\alpha$ в градусах.

Формула площади сектора: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$.

В условии даны следующие значения:

• Радиус круга $R = 6$.
• Площадь сектора $S = 8\pi$.

Подставим известные значения в формулу: $8\pi = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$

Выполним возведение в степень: $6^2 = 36$. $8\pi = \frac{\pi \cdot 36 \cdot \alpha}{360^\circ}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения: $8 = \frac{36 \alpha}{360}$

Сократим дробь в правой части ($36/360 = 1/10$): $8 = \frac{\alpha}{10}$

Чтобы найти $\alpha$, умножим обе части уравнения на 10: $\alpha = 8 \cdot 10$ $\alpha = 80^\circ$

Ответ: $80^\circ$.