Номер 16.3, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.3. a) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, вписанной в правильный шестиугольник, если площадь этого шестиугольника равна $36\sqrt{3}$.

б) Найдите площадь круга, ограниченного вписанной в правильный шестиугольник окружностью, если радиус описанной около этого шестиугольника окружности равен 8.

а)

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{кр} = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга. В данном случае, нам нужно найти радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

По условию, площадь шестиугольника равна $36\sqrt{3}$. Приравняем это значение к формуле, чтобы найти сторону шестиугольника $a$:
$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = 36\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $3\sqrt{3}$:
$\frac{a^2}{2} = 12$
$a^2 = 24$

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, связан со стороной $a$ следующим соотношением:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти площадь круга $S_{кр} = \pi r^2$, нам нужно найти $r^2$. Возведем в квадрат предыдущее выражение:
$r^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 3}{4}$

Теперь подставим ранее найденное значение $a^2 = 24$:
$r^2 = \frac{24 \cdot 3}{4} = 6 \cdot 3 = 18$

Наконец, вычисляем площадь круга:
$S_{кр} = \pi r^2 = 18\pi$

Ответ: $18\pi$.

б)

Площадь круга, ограниченного вписанной окружностью, находится по формуле $S_{кр} = \pi r^2$, где $r$ — радиус этой вписанной окружности.

Для правильного шестиугольника существует связь между его стороной $a$, радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$.
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности: $a = R$.
Радиус вписанной окружности связан со стороной так: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По условию, радиус описанной окружности $R = 8$. Следовательно, сторона шестиугольника $a = 8$.

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$

Вычисляем площадь вписанного круга:
$S_{кр} = \pi r^2 = \pi (4\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 3) = 48\pi$

Ответ: $48\pi$.