Номер 15.10, страница 168 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.10. а) В правильный треугольник со стороной 6 см вписана окружность. Затем в этот треугольник вписали еще три окружности, касающиеся первой окружности и двух сторон треугольника. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются центры этих трех окружностей.

б) В правильный треугольник, сторона которого равна 8 см, вписаны три равные окружности, попарно касающиеся друг друга. Каждая из них касается двух сторон данного треугольника. Найдите радиус этих окружностей.

а) Пусть дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 6$ см.
1. Сначала найдем радиус $R$ первой (большой) вписанной окружности. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Подставим значение $a=6$ см:
$R = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.
Центр этой окружности, назовем его $O_1$, является центром треугольника $ABC$.
2. Теперь рассмотрим одну из трех малых окружностей, которые касаются первой окружности и двух сторон треугольника. Пусть малая окружность с центром $O_2$ и радиусом $r$ вписана в угол при вершине $A$. Она касается сторон $AB$, $AC$ и первой окружности.
Центр $O_2$ лежит на биссектрисе угла $A$. Эта биссектриса также является высотой и медианой. Центр $O_1$ также лежит на этой линии.
Расстояние от вершины $A$ до центра $O_2$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный вершиной $A$, центром $O_2$ и точкой касания на стороне $AC$. Угол при вершине $A$ в этом малом треугольнике равен половине угла $A$, то есть $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Тогда расстояние $AO_2$ связано с радиусом $r$ соотношением: $\sin(30^\circ) = \frac{r}{AO_2}$, откуда $AO_2 = \frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{r}{1/2} = 2r$.
3. Точки $A$, $O_2$ и $O_1$ лежат на одной прямой в указанном порядке. Расстояние от вершины $A$ до центра большой окружности $O_1$ равно радиусу описанной окружности для треугольника $ABC$, который вдвое больше радиуса вписанной окружности: $AO_1 = 2R = 2\sqrt{3}$ см.
Поскольку малая и большая окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R+r$.
Из расположения точек на прямой следует равенство: $AO_1 = AO_2 + O_1O_2$.
Подставим найденные выражения в это равенство:
$2R = 2r + (R+r)$
$2R = 3r + R$
$R = 3r$
Отсюда находим радиус $r$ малой окружности: $r = \frac{R}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
4. Вершинами искомого треугольника являются центры трех малых окружностей. Обозначим их $O_2, O_3, O_4$. В силу симметрии задачи, этот треугольник является правильным, а его центр совпадает с центром $O_1$ большой окружности.
Расстояние от общего центра $O_1$ до любой из вершин $O_2, O_3, O_4$ является радиусом описанной окружности для треугольника $O_2O_3O_4$. Обозначим этот радиус $R_{нов}$.
$R_{нов} = O_1O_2 = R+r = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
5. Сторона правильного треугольника ($s_{нов}$) связана с радиусом его описанной окружности ($R_{нов}$) формулой $s_{нов} = R_{нов}\sqrt{3}$.
$s_{нов} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$ см.
6. Периметр треугольника с вершинами в центрах малых окружностей равен $P_{нов} = 3 \cdot s_{нов}$.
$P_{нов} = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

б) Пусть дан правильный треугольник со стороной $a = 8$ см. В него вписаны три равные, попарно касающиеся окружности. Каждая из них касается двух сторон треугольника. Требуется найти их радиус $r$.
1. Рассмотрим одну из этих окружностей, например, ту, что расположена в углу при вершине $A$. Пусть ее центр — точка $O_1$. Эта окружность касается сторон $AB$ и $AC$. Центр $O_1$ лежит на биссектрисе угла $A$.
2. Проведем из центра $O_1$ перпендикуляр $O_1K$ к стороне $AB$. Его длина равна радиусу $r$. В прямоугольном треугольнике $AKO_1$ угол $\angle KAO_1$ равен половине угла $A$, то есть $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем длину отрезка $AK$:
$\tan(30^\circ) = \frac{O_1K}{AK} \Rightarrow AK = \frac{r}{\tan(30^\circ)} = \frac{r}{1/\sqrt{3}} = r\sqrt{3}$.
3. Аналогично, для окружности, расположенной в углу при вершине $B$, отрезок от вершины $B$ до точки касания на стороне $AB$ (назовем ее $L$) также будет равен $BL = r\sqrt{3}$.
4. Сторона $AB$ большого треугольника складывается из трех отрезков: $AK$, $BL$ и отрезка $KL$, расположенного между точками касания.
$a = AB = AK + KL + BL$.
5. Рассмотрим отрезок $KL$. Он является проекцией отрезка $O_1O_2$, соединяющего центры окружностей в углах $A$ и $B$. Так как обе окружности касаются стороны $AB$, их центры $O_1$ и $O_2$ находятся на одинаковом расстоянии $r$ от прямой $AB$. Следовательно, прямая $O_1O_2$ параллельна прямой $AB$. Длина отрезка $O_1O_2$ равна сумме радиусов двух касающихся окружностей, то есть $O_1O_2 = r+r = 2r$. Поскольку $O_1O_2$ параллельна $AB$, длина ее проекции $KL$ равна самой длине $O_1O_2$. Таким образом, $KL = 2r$.
6. Теперь мы можем составить уравнение для стороны $a$:
$a = AK + KL + BL = r\sqrt{3} + 2r + r\sqrt{3} = 2r\sqrt{3} + 2r = 2r(\sqrt{3}+1)$.
7. Выразим радиус $r$ из этого уравнения, подставив значение $a=8$ см:
$8 = 2r(\sqrt{3}+1)$
$r = \frac{8}{2(\sqrt{3}+1)} = \frac{4}{\sqrt{3}+1}$.
Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3}-1)$:
$r = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1)$ см.

Ответ: $2(\sqrt{3}-1)$ см.