Номер 16.1, страница 168 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.1. Используя данные рисунков 239, а)—ж), найдите неизвестные величины.

а) $P_{\Delta AOB} = 12$; $C_{\text{окр.}} - ?$

б) $S_{\Delta AOB} = 4,5$; $S_{\text{кр.}} - ?$

в) $S_{\text{кр.}} - ?$

г) $C_{\text{окр.}} = 16\pi$; $x - ?$

д) $l_{AB} - ?$

е) $S_{\text{цв. сектора}} - ?$

ж) $S_{\text{сегмента}} - ?$

Рис. 239

а) $P_{\Delta AOB} = 12; C_{окр.} - ?$

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то $OA = OB = R$, где $R$ - радиус окружности. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный. По условию, угол при вершине $\angle AOB = 60°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, поэтому $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$. Подставим известные значения: $2 \cdot \angle OAB + 60° = 180°$. Отсюда $2 \cdot \angle OAB = 120°$, и $\angle OAB = 60°$. Так как все углы треугольника $AOB$ равны $60°$, он является равносторонним. Это значит, что все его стороны равны: $OA = OB = AB = R$. Периметр треугольника $P_{\Delta AOB}$ — это сумма длин его сторон: $P_{\Delta AOB} = R + R + R = 3R$. По условию $P_{\Delta AOB} = 12$, значит $3R = 12$, откуда находим радиус $R=4$. Длина окружности $C_{окр.}$ вычисляется по формуле $C_{окр.} = 2 \pi R$. Подставляя значение радиуса, получаем: $C_{окр.} = 2 \pi \cdot 4 = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

б) $S_{\Delta AOB} = 4,5; S_{кр.} - ?$

Треугольник $AOB$ является прямоугольным, так как по условию $\angle AOB = 90°$. Стороны $OA$ и $OB$ — это катеты этого треугольника и одновременно радиусы окружности, поэтому $OA = OB = R$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S_{\Delta AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB$. Подставляем известные значения: $4,5 = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2}R^2$. Из этого уравнения находим $R^2$: $R^2 = 4,5 \cdot 2 = 9$. Площадь круга $S_{кр.}$ вычисляется по формуле $S_{кр.} = \pi R^2$. Подставляем найденное значение $R^2$: $S_{кр.} = \pi \cdot 9 = 9\pi$.

Ответ: $9\pi$.

в) $S_{кр.} - ?$

Из рисунка видно, что хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$, следовательно, $AB$ — это диаметр окружности. Треугольник $ACB$ вписан в окружность и одна из его сторон ($AB$) является диаметром. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, всегда прямой. Таким образом, $\angle ACB = 90°$. Следовательно, треугольник $ACB$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$. В этом треугольнике нам известен катет $AC = 4\sqrt{3}$ и противолежащий ему угол $\angle ABC = 60°$. Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$. Подставляем значения: $\sin(60°) = \frac{4\sqrt{3}}{AB}$. Значение синуса $60°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому получаем: $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{AB}$. Отсюда находим длину гипотенузы $AB$: $AB \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 4\sqrt{3} \implies AB = 8$. Диаметр окружности $D = AB = 8$, значит радиус $R = \frac{D}{2} = 4$. Площадь круга $S_{кр.}$ вычисляется по формуле $S_{кр.} = \pi R^2$. $S_{кр.} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Ответ: $16\pi$.

г) $C_{окр.} = 16\pi; x - ?$

Длина окружности $C_{окр.}$ и ее радиус $R$ связаны формулой $C_{окр.} = 2 \pi R$. Из условия $C_{окр.} = 16\pi$ следует $2 \pi R = 16\pi$, откуда $R=8$. Рассмотрим треугольник, показанный на рисунке. Две его стороны являются радиусами, поэтому их длина равна $R=8$. Треугольник равнобедренный. Угол между этими сторонами равен $30°$. Третья сторона, обозначенная как $x$, является основанием этого треугольника. Для нахождения длины стороны $x$ применим теорему косинусов: $x^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(30°)$. Подставим известные значения: $x^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(30°)$. Так как $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $x^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 128 - 64\sqrt{3}$. Можно вынести общий множитель: $x^2 = 64(2 - \sqrt{3})$. Извлекая квадратный корень, находим $x$: $x = \sqrt{64(2 - \sqrt{3})} = 8\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

Ответ: $8\sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

д) $l_{AB} - ?$

Длина дуги окружности $l_{AB}$ с центральным углом $\alpha$, выраженным в градусах, и радиусом $R$ вычисляется по формуле $l_{AB} = \frac{\pi R \alpha}{180°}$. Из рисунка имеем: радиус $R=6$ и центральный угол $\alpha = 80°$. Подставим эти значения в формулу: $l_{AB} = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 80}{180} = \frac{480\pi}{180} = \frac{48\pi}{18} = \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$.

е) $S_{цв. сектора} - ?$

Площадь сектора круга $S_{сектора}$ с центральным углом $\alpha$, выраженным в градусах, и радиусом $R$ вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$. Из рисунка имеем: радиус $R=2$ и центральный угол $\alpha = 200°$. Подставляем значения в формулу: $S_{цв. сектора} = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 200}{360} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 200}{360} = \frac{800\pi}{360}$. Сокращаем полученную дробь: $\frac{800\pi}{360} = \frac{80\pi}{36} = \frac{20\pi}{9}$.

Ответ: $\frac{20\pi}{9}$.

ж) $S_{сегмента} - ?$

Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, стягивающей дугу. $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\Delta}$. 1. Сначала найдем площадь сектора. Из рисунка имеем радиус $R=3$ и центральный угол $\alpha = 120°$. $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot 3^2 \cdot 120}{360} = \frac{9\pi \cdot 120}{360} = \frac{9\pi}{3} = 3\pi$. 2. Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника со сторонами $R=3$ и углом между ними $120°$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S_{\Delta} = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a, b$ - стороны, а $\gamma$ - угол между ними. $S_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(120°) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \sin(120°)$. Используем свойство синуса: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{\Delta} = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4}$. 3. Наконец, вычисляем площадь сегмента, вычитая площадь треугольника из площади сектора: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\Delta} = 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4}$.