Номер 15.11, страница 168 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.11. На сторонах квадрата вне его построены правильные треугольники. Их вершины, не являющиеся вершинами квадрата, последовательно соединены. Найдите периметр полученного таким образом четырехугольника, если сторона данного квадрата равна 5.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a = 5$. На каждой из его сторон ($AB$, $BC$, $CD$, $DA$) построены равносторонние (правильные) треугольники ($ABE$, $BCF$, $CDG$, $DAH$) во внешнюю сторону. Нам нужно найти периметр четырехугольника $EFGH$, образованного вершинами этих треугольников, которые не являются вершинами исходного квадрата.

В силу симметрии задачи, все стороны четырехугольника $EFGH$ будут равны. Найдем длину одной из сторон, например, $EF$. Для этого рассмотрим треугольник $EBF$, образованный у вершины $B$ квадрата.

Стороны $EB$ и $BF$ этого треугольника являются сторонами равносторонних треугольников $ABE$ и $BCF$ соответственно. Так как эти треугольники построены на сторонах квадрата, их стороны равны стороне квадрата: $EB = AB = 5$ и $BF = BC = 5$. Следовательно, треугольник $EBF$ является равнобедренным.

Найдем угол $\angle EBF$ между сторонами $EB$ и $BF$. Этот угол находится при вершине $B$ и складывается из угла квадрата $\angle ABC = 90^\circ$ и двух углов прилегающих равносторонних треугольников $\angle ABE = 60^\circ$ и $\angle FBC = 60^\circ$. Поскольку треугольники построены во внешнюю сторону, эти три угла расположены вокруг точки $B$ и не перекрываются. Угол внутри треугольника $EBF$ будет равен $360^\circ$ минус сумма этих трех углов:

$\angle EBF = 360^\circ - (\angle ABE + \angle ABC + \angle FBC) = 360^\circ - (60^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 360^\circ - 210^\circ = 150^\circ$.

Теперь мы можем найти длину стороны $EF$ с помощью теоремы косинусов для треугольника $EBF$:

$EF^2 = EB^2 + BF^2 - 2 \cdot EB \cdot BF \cdot \cos(\angle EBF)$

$EF^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(150^\circ)$

Зная, что $\cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$EF^2 = 25 + 25 - 50 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 50 + 25\sqrt{3}$

Отсюда находим длину стороны $EF$:

$EF = \sqrt{50 + 25\sqrt{3}} = \sqrt{25(2 + \sqrt{3})} = 5\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Это выражение можно упростить, избавившись от вложенного корня по формуле $\sqrt{A + \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} + \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$. Для $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ получаем:

$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2^2-3}}{2}} + \sqrt{\frac{2-\sqrt{2^2-3}}{2}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, длина стороны $EF$ равна:

$EF = 5 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

Как было отмечено ранее, из-за симметрии все стороны четырехугольника $EFGH$ равны: $EF = FG = GH = HE$. Периметр $P$ этого четырехугольника равен учетверенной длине одной стороны.

$P = 4 \cdot EF = 4 \cdot \left(5 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \cdot 5 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2}) = 10(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

Ответ: $10(\sqrt{6}+\sqrt{2})$.