Номер 16.4, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.4. а) Длина окружности равна $24\pi$ см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

б) Площадь круга равна $81\pi$ см². Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в этот круг.

а) Длина окружности $C$ связана с ее радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$. По условию, длина окружности равна $24\pi$ см. Найдем радиус окружности:
$2\pi R = 24\pi$
$R = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.
Когда квадрат вписан в окружность, его диагональ $d$ равна диаметру окружности $D$.
$D = 2R = 2 \cdot 12 = 24$ см.
Следовательно, диагональ квадрата $d = 24$ см.
Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю $d$ по теореме Пифагора: $a^2 + a^2 = d^2$, что можно упростить до $2a^2 = d^2$.
Отсюда находим сторону $a$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$
Подставляем значение диагонали:
$a = \frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см.
Ответ: $12\sqrt{2}$ см.

б) Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. По условию, площадь круга равна $81\pi$ см².
Найдем радиус круга:
$\pi R^2 = 81\pi$
$R^2 = 81$
$R = \sqrt{81} = 9$ см.
Сторона правильного (равностороннего) треугольника $a$, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности (радиусом описанной окружности) формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Выразим из этой формулы сторону $a$:
$a = R\sqrt{3}$
Подставим найденное значение радиуса:
$a = 9\sqrt{3}$ см.
Ответ: $9\sqrt{3}$ см.