Номер 16.9, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.9. a) Градусная мера дуги окружности радиусом 10 см равна $288^\circ$. Найдите диаметр окружности, длина которой равна длине данной в условии дуги.

б) Градусная мера дуги окружности с диаметром 8 см равна $18^\circ$. Найдите радиус окружности, длина которой равна длине данной в условии дуги.

а) Для начала найдем длину дуги окружности. Формула для вычисления длины дуги: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $R$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — это градусная мера дуги.

В данном случае, радиус первой окружности $R_1 = 10$ см, а градусная мера дуги $\alpha = 288^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину дуги $L_1$:

$L_1 = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 288^\circ}{180^\circ} = \frac{2880\pi}{180} = 16\pi$ см.

По условию задачи, длина искомой окружности, обозначим ее $C_2$, равна длине данной дуги $L_1$. Таким образом, $C_2 = 16\pi$ см.

Длина окружности также определяется по формуле $C = \pi D$, где $D$ — это диаметр окружности. Для нашей второй окружности это будет $C_2 = \pi D_2$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $C_2$ и найти диаметр $D_2$:
$\pi D_2 = 16\pi$
$D_2 = \frac{16\pi}{\pi} = 16$ см.

Ответ: 16 см.

б) Сначала определим радиус первой окружности. Нам дан ее диаметр $D_1 = 8$ см. Радиус равен половине диаметра, поэтому $R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Далее вычислим длину дуги этой окружности. Градусная мера дуги $\alpha = 18^\circ$. Воспользуемся той же формулой для длины дуги, что и в предыдущем пункте: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$.

Подставим известные значения $R_1 = 4$ см и $\alpha = 18^\circ$:

$L_1 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 18^\circ}{180^\circ} = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ см (или $0.4\pi$ см).

Длина второй окружности $C_2$ по условию равна длине этой дуги, то есть $C_2 = L_1 = \frac{2\pi}{5}$ см.

Длина окружности связана с ее радиусом $R_2$ формулой $C_2 = 2\pi R_2$.

Приравняем известные нам выражения для $C_2$ и найдем искомый радиус $R_2$:
$2\pi R_2 = \frac{2\pi}{5}$
$R_2 = \frac{2\pi}{5} \cdot \frac{1}{2\pi} = \frac{1}{5} = 0.2$ см.

Ответ: 0,2 см.