Номер 16.15, страница 172 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.15. a) В круге радиусом 4 проведены две параллельные хорды так, что центр круга лежит между ними. Одна из них стягивает дугу в $60^\circ$, а другая — в $120^\circ$. Найдите площадь части круга, заключенной между хордами.

б) В круге радиусом 2 проведены две параллельные хорды по одну сторону от центра. Одна из них стягивает дугу в $60^\circ$, а другая — в $120^\circ$. Найдите площадь части круга, заключенной между хордами.

а)

Площадь части круга, заключенной между двумя параллельными хордами, когда центр круга лежит между ними, можно найти, вычтя из площади всего круга площади двух сегментов, отсекаемых этими хордами с внешней стороны.

Дано: радиус круга $R = 4$. Первая хорда стягивает дугу $\alpha_1 = 60^\circ$. Вторая хорда стягивает дугу $\alpha_2 = 120^\circ$.

Площадь круга вычисляется по формуле: $S_{круга} = \pi R^2$.

$S_{круга} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Площадь кругового сегмента, отсекаемого хордой, равна разности площади сектора и площади равнобедренного треугольника, образованного радиусами и хордой.

Формула площади сегмента: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$.

1. Найдем площадь первого сегмента ($S_1$), отсекаемого хордой, стягивающей дугу $\alpha_1 = 60^\circ$.

$S_1 = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{16\pi}{6} - \frac{16}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

2. Найдем площадь второго сегмента ($S_2$), отсекаемого хордой, стягивающей дугу $\alpha_2 = 120^\circ$.

$S_2 = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin 120^\circ = \frac{16\pi}{3} - \frac{16}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}$.

3. Найдем искомую площадь ($S$) как разность площади круга и площадей двух сегментов.

$S = S_{круга} - S_1 - S_2 = 16\pi - (\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}) - (\frac{16\pi}{3} - 4\sqrt{3}) = 16\pi - \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3} - \frac{16\pi}{3} + 4\sqrt{3} = 16\pi - \frac{24\pi}{3} + 8\sqrt{3} = 16\pi - 8\pi + 8\sqrt{3} = 8\pi + 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\pi + 8\sqrt{3}$.

б)

Когда обе параллельные хорды находятся по одну сторону от центра, площадь части круга между ними равна разности площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами. Хорда, стягивающая большую дугу, находится ближе к центру и отсекает сегмент большей площади.

Дано: радиус круга $R = 2$. Первая хорда стягивает дугу $\alpha_1 = 60^\circ$. Вторая хорда стягивает дугу $\alpha_2 = 120^\circ$.

Используем ту же формулу для площади сегмента: $S_{сегм} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$.

1. Найдем площадь сегмента ($S_1$), отсекаемого хордой, стягивающей дугу $\alpha_1 = 60^\circ$. Эта хорда дальше от центра.

$S_1 = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{4\pi}{6} - \frac{4}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$.

2. Найдем площадь сегмента ($S_2$), отсекаемого хордой, стягивающей дугу $\alpha_2 = 120^\circ$. Эта хорда ближе к центру.

$S_2 = \frac{\pi \cdot 2^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \sin 120^\circ = \frac{4\pi}{3} - \frac{4}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$.

3. Найдем искомую площадь ($S$) как разность площадей большего и меньшего сегментов.

$S = S_2 - S_1 = (\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}) - (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.