Номер 16.12, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.12. a) В окружности длиной $72\pi$ см проведена хорда, стягивающая дугу в $90^\circ$. Найдите длину этой хорды.

б) В окружности длиной $24\pi$ см проведена хорда, равная $12$ см. Найдите градусную меру большей из дуг, стягиваемых этой хордой.

а) Длина окружности $C$ связана с ее радиусом $R$ формулой $C = 2\pi R$. По условию, длина окружности равна $72\pi$ см. Найдем радиус окружности:

$2\pi R = 72\pi$

$R = \frac{72\pi}{2\pi} = 36$ см.

Хорда стягивает дугу в $90^\circ$. Центральный угол, опирающийся на эту дугу, также равен $90^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами, проведенными к концам хорды, и самой хордой. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это радиусы окружности. Поскольку угол между радиусами равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным. Радиусы — это катеты, а хорда — гипотенуза.

Пусть длина хорды равна $l$. По теореме Пифагора:

$l^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

$l = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Подставим найденное значение радиуса $R=36$ см:

$l = 36\sqrt{2}$ см.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см.

б) Сначала найдем радиус окружности $R$, зная ее длину $C = 24\pi$ см. Используем формулу длины окружности $C = 2\pi R$:

$2\pi R = 24\pi$

$R = \frac{24\pi}{2\pi} = 12$ см.

По условию, длина хорды равна 12 см. Рассмотрим треугольник, сторонами которого являются два радиуса, проведенные к концам хорды, и сама хорда. Длины сторон этого треугольника равны $R$, $R$ и длине хорды. В нашем случае все три стороны равны 12 см ($R=12$ см, хорда $=12$ см). Следовательно, этот треугольник является равносторонним.

Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Значит, центральный угол, который стягивает данная хорда, равен $60^\circ$.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Таким образом, меньшая из дуг, стягиваемых хордой, имеет меру $60^\circ$.

Хорда делит окружность на две дуги, сумма градусных мер которых равна $360^\circ$. Чтобы найти градусную меру большей дуги, вычтем меру меньшей дуги из $360^\circ$:

$360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Ответ: $300^\circ$.