Номер 16.5, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.5. a) Круг вписан в квадрат со стороной 10 см. Найдите площадь части квадрата, находящейся вне круга.

б) Круг вписан в правильный треугольник со стороной 4 см. Найдите площадь части этого треугольника, находящейся вне круга.

а)

Чтобы найти площадь части квадрата, находящейся вне вписанного круга, нужно из площади квадрата вычесть площадь вписанного круга.

1. Найдем площадь квадрата ($S_{квадрата}$).

Сторона квадрата $a = 10$ см. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{квадрата} = a^2$.

$S_{квадрата} = 10^2 = 100$ см².

2. Найдем площадь вписанного круга ($S_{круга}$).

Если круг вписан в квадрат, его диаметр $d$ равен стороне квадрата $a$. Следовательно, $d = 10$ см.

Радиус круга $r$ равен половине диаметра: $r = d/2 = 10/2 = 5$ см.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.

$S_{круга} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

3. Найдем искомую площадь ($S$).

$S = S_{квадрата} - S_{круга} = 100 - 25\pi$ см².

Ответ: $100 - 25\pi$ см².

б)

Чтобы найти площадь части правильного треугольника, находящейся вне вписанного круга, нужно из площади треугольника вычесть площадь вписанного круга.

1. Найдем площадь правильного (равностороннего) треугольника ($S_{треуг}$).

Сторона треугольника $a = 4$ см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S_{треуг} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

$S_{треуг} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь вписанного круга ($S_{круга}$).

Радиус круга $r$, вписанного в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.

$S_{круга} = \pi \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3}$ см².

3. Найдем искомую площадь ($S$).

$S = S_{треуг} - S_{круга} = 4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².

Ответ: $4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².