Номер 16.2, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

16.2. a) Найдите длину окружности, вписанной в квадрат, площадь которого равна 6.

б) Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, площадь которого равна $9\sqrt{3}$.

а) Пусть сторона квадрата равна $a$. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S=a^2$. По условию, площадь квадрата равна 6, следовательно, $a^2 = 6$, откуда сторона квадрата $a = \sqrt{6}$.
Окружность, вписанная в квадрат, касается всех его сторон. Ее диаметр $d$ равен стороне квадрата: $d = a = \sqrt{6}$.
Радиус вписанной окружности $r$ равен половине диаметра: $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
Длина окружности $C$ находится по формуле $C = 2\pi r$. Подставим значение радиуса:
$C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = \pi\sqrt{6}$.

Ответ: $\pi\sqrt{6}$.

б) Пусть сторона правильного (равностороннего) треугольника равна $a$. Площадь такого треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
По условию, площадь треугольника равна $9\sqrt{3}$. Найдем сторону $a$, решив уравнение:
$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$
Разделим обе части на $\sqrt{3}$:$\frac{a^2}{4} = 9$
$a^2 = 36$, откуда $a = 6$.
Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Подставим значение стороны $a=6$:
$r = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$.
Длина окружности $C$ находится по формуле $C = 2\pi r$. Подставим значение радиуса:
$C = 2\pi\sqrt{3}$.

Ответ: $2\pi\sqrt{3}$.