Номер 15.7, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.7. a) В квадрат вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник, площадь которого равна $18\sqrt{3}$. Найдите площадь квадрата.

б) В правильный треугольник вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник, площадь которого равна $18\sqrt{3}$. Найдите площадь правильного треугольника.

а)

Пусть $R$ — радиус окружности, вписанной в квадрат, а $a_6$ — сторона правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона равна радиусу этой окружности: $a_6 = R$.

Площадь правильного шестиугольника ($S_6$) вычисляется по формуле, состоящей из 6 площадей равносторонних треугольников со стороной $R$: $S_6 = 6 \cdot \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$.

По условию, площадь шестиугольника равна $18\sqrt{3}$. Приравняем и найдем $R$:

$\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = 18\sqrt{3}$

Разделив обе части на $\sqrt{3}$, получаем:

$\frac{3}{2}R^2 = 18$

$R^2 = 18 \cdot \frac{2}{3}$

$R^2 = 12$

$R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Эта окружность вписана в квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a_{кв}$. Для вписанной в квадрат окружности ее диаметр равен стороне квадрата.

$a_{кв} = 2R = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Площадь квадрата ($S_{кв}$) равна квадрату его стороны:

$S_{кв} = a_{кв}^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.

Ответ: 48.

б)

Пусть $R$ — радиус окружности, вписанной в правильный треугольник. В эту же окружность вписан правильный шестиугольник. Из пункта а) мы знаем, что если площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна $18\sqrt{3}$, то радиус этой окружности $R = 2\sqrt{3}$.

Эта окружность с радиусом $R = 2\sqrt{3}$ является вписанной для правильного треугольника. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности ($r_{вп}$) связан с его стороной ($a_{тр}$) формулой: $r_{вп} = \frac{a_{тр}}{2\sqrt{3}}$.

В нашем случае $r_{вп} = R = 2\sqrt{3}$. Найдем сторону треугольника $a_{тр}$:

$2\sqrt{3} = \frac{a_{тр}}{2\sqrt{3}}$

$a_{тр} = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$.

Теперь найдем площадь правильного треугольника ($S_{тр}$) по формуле: $S_{тр} = \frac{a_{тр}^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_{тр} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$.

Ответ: $36\sqrt{3}$.