Номер 15.2, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

15.2. a) Сторона правильного треугольника в два раза больше стороны правильного шестиугольника. Найдите отношение радиуса описанной около этого треугольника окружности к радиусу описанной около шестиугольника окружности.

б) Радиусы окружностей, вписанных в правильные шестиугольник и треугольник, равны. Найдите отношение сторон этих шестиугольника и треугольника.

а)

Пусть сторона правильного треугольника равна $a_3$, а сторона правильного шестиугольника равна $a_6$. Согласно условию задачи, $a_3 = 2a_6$. Радиус $R_n$ окружности, описанной около правильного n-угольника со стороной $a_n$, вычисляется по формуле: $R_n = \frac{a_n}{2 \sin(\frac{180^\circ}{n})}$.

Для правильного треугольника (где $n=3$), радиус описанной окружности $R_3$ равен:
$R_3 = \frac{a_3}{2 \sin(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a_3}{2 \sin(60^\circ)} = \frac{a_3}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$.

Для правильного шестиугольника (где $n=6$), радиус описанной окружности $R_6$ равен:
$R_6 = \frac{a_6}{2 \sin(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a_6}{2 \sin(30^\circ)} = \frac{a_6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = a_6$.

Теперь найдем искомое отношение радиуса описанной около треугольника окружности к радиусу описанной около шестиугольника окружности, то есть $\frac{R_3}{R_6}$. Подставим полученные выражения для радиусов и воспользуемся условием $a_3 = 2a_6$:
$\frac{R_3}{R_6} = \frac{\frac{a_3}{\sqrt{3}}}{a_6} = \frac{\frac{2a_6}{\sqrt{3}}}{a_6} = \frac{2a_6}{a_6\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

б)

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a_6$, а сторона правильного треугольника — $a_3$. По условию, радиусы вписанных в них окружностей равны. Обозначим этот радиус как $r$. Радиус $r_n$ окружности, вписанной в правильный n-угольник со стороной $a_n$, вычисляется по формуле: $r_n = \frac{a_n}{2 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$.

Для правильного шестиугольника (где $n=6$), радиус вписанной окружности $r_6$ равен:
$r_6 = \frac{a_6}{2 \tan(\frac{180^\circ}{6})} = \frac{a_6}{2 \tan(30^\circ)} = \frac{a_6}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$.

Для правильного треугольника (где $n=3$), радиус вписанной окружности $r_3$ равен:
$r_3 = \frac{a_3}{2 \tan(\frac{180^\circ}{3})} = \frac{a_3}{2 \tan(60^\circ)} = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$.

Так как по условию $r_3 = r_6$, мы можем приравнять полученные выражения:
$\frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$.

Теперь из этого равенства найдем искомое отношение сторон $\frac{a_6}{a_3}$:
$a_6\sqrt{3} = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$ (умножили обе части на 2)
$a_6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = a_3$
$3a_6 = a_3$
Разделив обе части на $a_3$, получим:
$\frac{3a_6}{a_3} = 1 \implies \frac{a_6}{a_3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.