Номер 14.9, страница 164 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.9. a) Три окружности одного радиуса попарно касаются друг друга. Найдите радиус этих окружностей, если радиус меньшей окружности, касающейся всех данных, равен 8.

б) Три окружности одного радиуса попарно касаются друг друга. Найдите радиус этих окружностей, если радиус большей окружности, касающейся всех данных, равен 6.

а) Пусть $R$ — искомый радиус трех окружностей. Так как эти окружности попарно касаются друг друга, их центры $O_1, O_2, O_3$ образуют равносторонний треугольник со стороной $a = R + R = 2R$.

Меньшая окружность, касающаяся всех трех данных, расположена в криволинейном треугольнике, образованном ими. Из соображений симметрии ее центр $O_c$ совпадает с центром равностороннего треугольника $O_1O_2O_3$ (который является его центроидом, инцентром и ортоцентром). Радиус этой меньшей окружности по условию равен $r_{small} = 8$.

Расстояние от центра $O_c$ до любой из вершин треугольника $O_1, O_2, O_3$ равно радиусу описанной около этого треугольника окружности. Найдем его:
$d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

С другой стороны, так как меньшая окружность (с центром $O_c$ и радиусом $r_{small}$) и одна из исходных окружностей (например, с центром $O_1$ и радиусом $R$) касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:
$d = R + r_{small}$

Приравнивая два выражения для расстояния $d$, получаем уравнение:
$\frac{2R}{\sqrt{3}} = R + r_{small}$

Подставим известное значение $r_{small} = 8$ и решим уравнение относительно $R$:
$\frac{2R}{\sqrt{3}} - R = 8$
$R(\frac{2}{\sqrt{3}} - 1) = 8$
$R(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 8$
$R = \frac{8\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$R = \frac{8\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{16\sqrt{3} + 8 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{16\sqrt{3} + 24}{1} = 24 + 16\sqrt{3}$

Ответ: $24 + 16\sqrt{3}$.

б) Как и в предыдущем пункте, центры трех окружностей с радиусом $R$ образуют равносторонний треугольник $O_1O_2O_3$ со стороной $a = 2R$.

Большая окружность, касающаяся всех трех данных, описывает их, касаясь каждой из них внутренним образом. Ее центр $O_c$ по соображениям симметрии также совпадает с центром треугольника $O_1O_2O_3$. Радиус этой большей окружности по условию равен $r_{large} = 6$.

Расстояние от центра $O_c$ до любой из вершин $O_1, O_2, O_3$ равно:
$d = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Так как большая окружность (с центром $O_c$ и радиусом $r_{large}$) и одна из исходных окружностей (например, с центром $O_1$ и радиусом $R$) касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности их радиусов:
$d = r_{large} - R$

Приравнивая два выражения для расстояния $d$, получаем уравнение:
$\frac{2R}{\sqrt{3}} = r_{large} - R$

Подставим известное значение $r_{large} = 6$ и решим уравнение относительно $R$:
$\frac{2R}{\sqrt{3}} + R = 6$
$R(\frac{2}{\sqrt{3}} + 1) = 6$
$R(\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}) = 6$
$R = \frac{6\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:
$R = \frac{6\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{12\sqrt{3} - 6 \cdot 3}{4 - 3} = \frac{12\sqrt{3} - 18}{1} = 12\sqrt{3} - 18$

Ответ: $12\sqrt{3} - 18$.