Номер 14.3, страница 163 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.3. a) Сторона правильного четырехугольника на $(8 - 4\sqrt{2})$ см больше радиуса описанной около него окружности. Найдите периметр этого четырехугольника.

б) Радиус описанной около правильного четырехугольника окружности на $(2\sqrt{2} - 2)$ см больше радиуса вписанной в него окружности. Найдите площадь этого четырехугольника.

а)

Правильный четырехугольник — это квадрат. Обозначим сторону квадрата как $a$, а радиус описанной около него окружности как $R$.

Для квадрата существует связь между стороной и радиусом описанной окружности. Диагональ квадрата $d$ является диаметром описанной окружности, то есть $d = 2R$. С другой стороны, по теореме Пифагора диагональ квадрата связана с его стороной как $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Приравнивая два выражения для диагонали, получаем: $2R = a\sqrt{2}$, откуда $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По условию задачи, сторона квадрата на $(8 - 4\sqrt{2})$ см больше радиуса описанной окружности:

$a = R + (8 - 4\sqrt{2})$

Подставим выражение для $R$ в это уравнение:

$a = \frac{a\sqrt{2}}{2} + 8 - 4\sqrt{2}$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть:

$a - \frac{a\sqrt{2}}{2} = 8 - 4\sqrt{2}$

Вынесем $a$ за скобки в левой части и $4$ в правой части:

$a(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 4(2 - \sqrt{2})$

Приведем выражение в скобках слева к общему знаменателю:

$a(\frac{2 - \sqrt{2}}{2}) = 4(2 - \sqrt{2})$

Так как $(2 - \sqrt{2}) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $(2 - \sqrt{2})$:

$\frac{a}{2} = 4$

Отсюда находим сторону квадрата:

$a = 8$ см.

Периметр квадрата $P$ равен $4a$:

$P = 4 \cdot 8 = 32$ см.

Ответ: $32$ см.

б)

Пусть сторона правильного четырехугольника (квадрата) равна $a$, радиус описанной окружности — $R$, а радиус вписанной окружности — $r$.

Как мы установили в пункте а), радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Диаметр вписанной в квадрат окружности равен его стороне, то есть $2r = a$. Отсюда радиус вписанной окружности $r = \frac{a}{2}$.

По условию задачи, радиус описанной окружности на $(2\sqrt{2} - 2)$ см больше радиуса вписанной окружности:

$R = r + (2\sqrt{2} - 2)$

Подставим в это уравнение выражения для $R$ и $r$ через $a$:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{2} + 2\sqrt{2} - 2$

Перенесем слагаемые с $a$ в левую часть:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{a}{2} = 2\sqrt{2} - 2$

Вынесем $\frac{a}{2}$ за скобки в левой части и $2$ в правой части:

$\frac{a}{2}(\sqrt{2} - 1) = 2(\sqrt{2} - 1)$

Так как $(\sqrt{2} - 1) \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $(\sqrt{2} - 1)$:

$\frac{a}{2} = 2$

Отсюда находим сторону квадрата:

$a = 4$ см.

Площадь квадрата $S$ равна $a^2$:

$S = 4^2 = 16$ см$^2$.

Ответ: $16$ см$^2$.