Номер 13.12, страница 162 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.12. a) Наименьшая диагональ правильного восьмиугольника равна 4 см. Найдите радиус описанной около этого восьмиугольника окружности.

б) Диаметр окружности, описанной около правильного восьмиугольника, равен 16 см. Найдите наименьшую диагональ этого восьмиугольника.

а)

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность. Пусть центр этой окружности — точка O, а ее радиус — R. Вершины восьмиугольника, обозначим их $A_1, A_2, \ldots, A_8$, лежат на этой окружности. Таким образом, расстояние от центра O до любой вершины равно радиусу R.

В правильном многоугольнике диагонали имеют разную длину. Наименьшая диагональ соединяет две вершины через одну (например, $A_1$ и $A_3$). Обозначим длину этой диагонали $d_{min}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_3$. Его стороны $OA_1$ и $OA_3$ равны радиусу R. Угол при вершине O, $\angle A_1OA_3$, можно найти, зная центральный угол, соответствующий одной стороне восьмиугольника. Этот угол равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Угол $\angle A_1OA_3$ стягивает две стороны восьмиугольника ($A_1A_2$ и $A_2A_3$), поэтому он равен сумме двух центральных углов:
$\angle A_1OA_3 = \angle A_1OA_2 + \angle A_2OA_3 = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle A_1OA_3$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его катеты $OA_1$ и $OA_3$ равны R, а гипотенуза $A_1A_3$ равна наименьшей диагонали $d_{min}$.

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A_1OA_3$:
$(A_1A_3)^2 = (OA_1)^2 + (OA_3)^2$
$d_{min}^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$
Отсюда получаем соотношение: $d_{min} = R\sqrt{2}$.

Согласно условию задачи, $d_{min} = 4$ см. Подставим это значение в нашу формулу:
$4 = R\sqrt{2}$

Теперь найдем радиус R:
$R = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

б)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой, выведенной в пункте а), которая связывает наименьшую диагональ $d_{min}$ правильного восьмиугольника и радиус R описанной около него окружности:
$d_{min} = R\sqrt{2}$.

По условию, диаметр описанной окружности равен 16 см. Радиус R равен половине диаметра:
$R = \frac{16}{2} = 8$ см.

Теперь мы можем найти длину наименьшей диагонали, подставив значение радиуса в формулу:
$d_{min} = 8 \cdot \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.