Номер 14.4, страница 163 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.4. а) Площадь правильного шестиугольника равна $12\sqrt{3}$ $\text{см}^2$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник.

б) Диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен 8 $\text{см}$. Найдите площадь этого шестиугольника.

а) Площадь правильного шестиугольника ($S$) можно выразить через радиус вписанной в него окружности ($r$). Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников, сторона которых ($a$) равна стороне шестиугольника. Высота такого треугольника является радиусом вписанной окружности ($r$).

Связь между стороной правильного шестиугольника $a$ и радиусом вписанной окружности $r$ выражается формулой высоты равностороннего треугольника: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отсюда можно выразить сторону через радиус: $a = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.

Площадь правильного шестиугольника равна сумме площадей шести равносторонних треугольников: $S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Подставим в формулу площади выражение для стороны $a$ через радиус $r$:

$S = \frac{3 \cdot \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{4r^2}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4r^2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}r^2$.

Мы получили формулу, связывающую площадь правильного шестиугольника с радиусом вписанной окружности: $S = 2\sqrt{3}r^2$.

По условию задачи площадь равна $S = 12\sqrt{3}$ см². Подставим это значение в нашу формулу:

$12\sqrt{3} = 2\sqrt{3}r^2$

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{3}$:

$r^2 = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6$

Отсюда находим радиус:

$r = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.

б) По условию, диаметр окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $d = 8$ см. Радиус этой окружности $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Для нахождения площади шестиугольника воспользуемся формулой, связывающей площадь $S$ и радиус вписанной окружности $r$, выведенной в предыдущем пункте:

$S = 2\sqrt{3}r^2$

Подставим в эту формулу известное значение радиуса $r = 4$ см:

$S = 2\sqrt{3} \cdot (4)^2 = 2\sqrt{3} \cdot 16 = 32\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32\sqrt{3}$ см².