Номер 14.10, страница 164 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.10. a) Вершины правильного 12-угольника соединили через одну. Найдите площадь 12-угольника, если радиус окружности, которая вписана в образовавшийся многоугольник, равен 3.

б) Вершины правильного восьмиугольника соединили через одну. Найдите площадь восьмиугольника, если периметр образовавшегося многоугольника равен 8.

а)

Пусть дан правильный 12-угольник, вписанный в окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Обозначим его вершины как $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$.

Соединение вершин через одну означает, что мы проводим хорды $A_1A_3, A_2A_4, \ldots, A_{12}A_2$. Эти хорды образуют фигуру, состоящую из двух наложенных друг на друга правильных шестиугольников (один с вершинами $A_1, A_3, \ldots, A_{11}$ и другой с вершинами $A_2, A_4, \ldots, A_{12}$).

В центре этой фигуры образуется новый, меньший правильный 12-угольник. Будем считать, что именно он имеется в виду под «образовавшимся многоугольником». В этот внутренний 12-угольник вписана окружность, радиус которой по условию равен 3. Радиус вписанной в многоугольник окружности (апофема) мы обозначим как $r_{вн}$. Итак, $r_{вн} = 3$.

Стороны внутреннего 12-угольника лежат на хордах вида $A_iA_{i+2}$. Радиус вписанной в него окружности, $r_{вн}$, равен расстоянию от центра O до любой из этих хорд.

Рассмотрим треугольник $\triangle OA_1A_3$. Он равнобедренный, так как $OA_1 = OA_3 = R$. Центральный угол, соответствующий одной стороне исходного 12-угольника, равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Угол $\angle A_1OA_3$ опирается на две такие стороны, поэтому $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\triangle OA_1A_3$ равнобедренный с углом при вершине $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, его сторона $A_1A_3$ также равна $R$.

Расстояние от центра O до хорды $A_1A_3$ — это высота в равностороннем треугольнике $\triangle OA_1A_3$. Эта высота и есть радиус $r_{вн}$ вписанной в центральный многоугольник окружности. Высота равностороннего треугольника со стороной $R$ вычисляется по формуле $h = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы имеем соотношение: $r_{вн} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем известное значение $r_{вн} = 3$: $3 = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Отсюда находим радиус $R$ описанной окружности исходного 12-угольника: $R = \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь найдем площадь исходного правильного 12-угольника ($S_{12}$). Формула площади правильного n-угольника через радиус описанной окружности $R$: $S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$.

Для нашего 12-угольника: $S_{12} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{12}\right) = 6 R^2 \sin(30^\circ)$.

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, формула упрощается: $S_{12} = 6 R^2 \cdot \frac{1}{2} = 3R^2$.

Мы нашли, что $R = 2\sqrt{3}$, значит $R^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.

Подставляем значение $R^2$ в формулу площади: $S_{12} = 3 \cdot 12 = 36$.

Ответ: 36.

б)

Пусть дан правильный 8-угольник, вписанный в окружность с центром в точке O и радиусом $R$. Соединение вершин через одну приводит к образованию двух наложенных друг на друга квадратов. Их пересечение в центре образует новый, меньший правильный 8-угольник. Периметр этого «образовавшегося многоугольника» равен 8.

Обозначим внутренний 8-угольник как $P_{вн}$. Его периметр $P_{вн} = 8$. Так как он правильный, длина его стороны $a_{вн}$ равна: $a_{вн} = \frac{P_{вн}}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

Наша задача — найти связь между стороной $a_{вн}$ и радиусом $R$ исходного 8-угольника, чтобы затем найти его площадь $S_8$.

Для удобства воспользуемся координатным методом. Поместим центр O в начало координат $(0,0)$. Пусть вершины исходного 8-угольника $A_k$ имеют координаты $A_k = (R\cos((k-1)45^\circ), R\sin((k-1)45^\circ))$, где центральный угол равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Стороны внутреннего 8-угольника образуются на пересечении хорд вида $A_iA_{i+2}$. Найдем координаты двух соседних вершин внутреннего 8-угольника.

Пусть одна вершина, $I_1$, является точкой пересечения хорд $A_8A_2$ и $A_1A_3$. $A_1 = (R, 0)$, $A_3 = (R\cos(90^\circ), R\sin(90^\circ)) = (0, R)$. Уравнение прямой $A_1A_3$: $x+y=R$. $A_2 = (R\cos(45^\circ), R\sin(45^\circ)) = (\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}})$, $A_8 = (R\cos(-45^\circ), R\sin(-45^\circ)) = (\frac{R}{\sqrt{2}}, -\frac{R}{\sqrt{2}})$. Уравнение прямой $A_8A_2$: $x=\frac{R}{\sqrt{2}}$. Для нахождения $I_1$ решаем систему: $x+y=R$ и $x=\frac{R}{\sqrt{2}}$. Получаем $y = R - \frac{R}{\sqrt{2}}$. Итак, $I_1 = (\frac{R}{\sqrt{2}}, R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}))$.

Пусть соседняя вершина, $I_2$, является точкой пересечения хорд $A_1A_3$ и $A_2A_4$. Уравнение прямой $A_1A_3$ мы уже знаем: $x+y=R$. $A_4 = (R\cos(135^\circ), R\sin(135^\circ)) = (-\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}})$. Уравнение прямой $A_2A_4$: $y=\frac{R}{\sqrt{2}}$. Решая систему, получаем $x = R - \frac{R}{\sqrt{2}}$. Итак, $I_2 = (R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}), \frac{R}{\sqrt{2}})$.

Теперь найдем квадрат длины стороны $a_{вн}$ как квадрат расстояния между точками $I_1$ и $I_2$: $a_{вн}^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 = \left(R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{R}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{R}{\sqrt{2}} - R(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\right)^2$ $a_{вн}^2 = (R(1-\sqrt{2}))^2 + (R(\sqrt{2}-1))^2 = R^2(1-\sqrt{2})^2 + R^2(\sqrt{2}-1)^2 = 2R^2(\sqrt{2}-1)^2$.

Отсюда $a_{вн} = \sqrt{2}R(\sqrt{2}-1) = R(2-\sqrt{2})$.

Мы знаем, что $a_{вн} = 1$, поэтому: $1 = R(2-\sqrt{2})$.

Находим $R$: $R = \frac{1}{2-\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2+\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2+\sqrt{2}}{2}$.

Теперь находим площадь исходного 8-угольника $S_8$: $S_8 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{8}\right) = 4R^2\sin(45^\circ) = 4R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}R^2$.

Вычислим $R^2$: $R^2 = \left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4} = \frac{4+4\sqrt{2}+2}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{4} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем $R^2$ в формулу площади: $S_8 = 2\sqrt{2} \cdot \left(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}(3+2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 4$.

Ответ: $4+3\sqrt{2}$.