Номер 14.5, страница 163 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.5. a) Выразите радиус $R$ описанной около правильного 18-угольника окружности через сторону $b$ этого 18-угольника.

б) Выразите сторону $c$ правильного 36-угольника через радиус $r$ вписанной в него окружности.

а)

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R$ описанной окружности, проведенными к соседним вершинам правильного 18-угольника, и стороной $b$ этого многоугольника. Угол при вершине этого треугольника, находящейся в центре окружности, равен $\frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$.

Высота этого треугольника, опущенная на сторону $b$, является также биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. В каждом из этих прямоугольных треугольников гипотенуза равна $R$, один катет равен $\frac{b}{2}$, а противолежащий этому катету угол равен $\frac{20^\circ}{2} = 10^\circ$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(10^\circ) = \frac{b/2}{R}$

Отсюда можно выразить сторону $b$ через радиус $R$:
$b = 2R \sin(10^\circ)$

Теперь выразим радиус $R$ через сторону $b$, как требуется в задаче:
$R = \frac{b}{2 \sin(10^\circ)}$

В общем виде для правильного n-угольника со стороной $a_n$ формула имеет вид: $R = \frac{a_n}{2 \sin(180^\circ/n)}$.

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin(10^\circ)}$

б)

Рассмотрим правильный 36-угольник. Соединим центр вписанной окружности с двумя соседними вершинами многоугольника. Получим равнобедренный треугольник со сторонами, равными радиусу описанной окружности, и основанием, равным стороне многоугольника $c$. Радиус $r$ вписанной окружности является высотой (апофемой), проведенной к стороне $c$.

Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Угол при центре, стягиваемый стороной $c$, равен $\frac{360^\circ}{36} = 10^\circ$. Угол в прямоугольном треугольнике при вершине в центре окружности будет равен $\frac{10^\circ}{2} = 5^\circ$. Катеты этого прямоугольного треугольника равны $r$ и $\frac{c}{2}$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике:
$\tan(5^\circ) = \frac{c/2}{r}$

Выразим сторону $c$ через радиус $r$:
$\frac{c}{2} = r \tan(5^\circ)$
$c = 2r \tan(5^\circ)$

В общем виде для правильного n-угольника со стороной $a_n$ и радиусом вписанной окружности $r$ формула имеет вид: $a_n = 2r \tan(180^\circ/n)$.

Ответ: $c = 2r \tan(5^\circ)$