Номер 14.2, страница 163 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

14.2. a) Диаметр описанной около правильного треугольника окружности равен 24 см. Найдите площадь этого треугольника.

б) Площадь правильного треугольника равна $16\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите диаметр вписанной в этот треугольник окружности.

а) Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, $R$ — радиус описанной окружности, $D$ — её диаметр, а $S$ — площадь треугольника.
По условию, диаметр описанной окружности равен $D = 24$ см.
Радиус описанной окружности $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом описанной окружности $R$ выражается формулой:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Отсюда можем найти сторону треугольника $a$:
$a = R\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см.
Площадь правильного треугольника $S$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Подставим найденное значение стороны $a$:
$S = \frac{(12\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{432\sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3}$ см².
Ответ: $108\sqrt{3}$ см².

б) Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, $S$ — его площадь, $r$ — радиус вписанной окружности, а $d$ — её диаметр.
По условию, площадь треугольника равна $S = 16\sqrt{3}$ см².
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Приравняем известное значение площади и формулу, чтобы найти сторону $a$:
$16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$16 = \frac{a^2}{4}$
$a^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8$ см.
Связь между стороной правильного треугольника $a$ и радиусом вписанной окружности $r$ выражается формулой:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
Подставим найденное значение стороны $a$:
$r = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.
Диаметр вписанной окружности $d$ равен удвоенному радиусу:
$d = 2r = 2 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.