Номер 13.8, страница 161 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.8. a) Докажите, что диагонали $A_1A_3$ и $A_1A_4$ правильного пятиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5$ делят угол $A_2A_1A_5$ на три равных угла.

б) Докажите, что в правильном многоугольнике произведения отрезков любых двух пересекающихся диагоналей равны между собой.

а)

Рассмотрим правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$. Все вершины правильного многоугольника лежат на одной окружности, которая называется описанной.

Вершины пятиугольника делят описанную окружность на 5 равных дуг: $\cup A_1A_2 = \cup A_2A_3 = \cup A_3A_4 = \cup A_4A_5 = \cup A_5A_1$.

Градусная мера всей окружности равна $360^\circ$. Следовательно, каждая из этих дуг имеет меру $360^\circ / 5 = 72^\circ$.

Угол $\angle A_2A_1A_5$, который нужно разделить, является вписанным углом в эту окружность. Он опирается на дугу $A_2A_3A_4A_5$, которая состоит из трех равных дуг. Ее мера равна $3 \times 72^\circ = 216^\circ$. Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, поэтому $\angle A_2A_1A_5 = 216^\circ / 2 = 108^\circ$.

Рассмотрим углы, на которые диагонали $A_1A_3$ и $A_1A_4$ делят угол $\angle A_2A_1A_5$. Этими углами являются $\angle A_2A_1A_3$, $\angle A_3A_1A_4$ и $\angle A_4A_1A_5$.

1. Угол $\angle A_2A_1A_3$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $A_2A_3$. Мера дуги $\cup A_2A_3 = 72^\circ$. Следовательно, $\angle A_2A_1A_3 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

2. Угол $\angle A_3A_1A_4$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $A_3A_4$. Мера дуги $\cup A_3A_4 = 72^\circ$. Следовательно, $\angle A_3A_1A_4 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

3. Угол $\angle A_4A_1A_5$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $A_4A_5$. Мера дуги $\cup A_4A_5 = 72^\circ$. Следовательно, $\angle A_4A_1A_5 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Таким образом, мы получили, что $\angle A_2A_1A_3 = \angle A_3A_1A_4 = \angle A_4A_1A_5 = 36^\circ$. Это означает, что диагонали $A_1A_3$ и $A_1A_4$ делят угол $\angle A_2A_1A_5$ на три равных угла, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Рассмотрим произвольный правильный n-угольник. Все его вершины лежат на одной (описанной) окружности. Следовательно, все диагонали правильного многоугольника являются хордами этой окружности.

Пусть две произвольные диагонали, скажем $A_iA_k$ и $A_jA_l$, пересекаются в точке $P$ внутри многоугольника. Нам нужно доказать, что произведение отрезков одной диагонали равно произведению отрезков другой, то есть $PA_i \cdot PA_k = PA_j \cdot PA_l$. Это известная теорема о пересекающихся хордах окружности.

Рассмотрим треугольники $\triangle PA_iA_j$ и $\triangle PA_lA_k$.

1. Углы $\angle A_iPA_j$ и $\angle A_lPA_k$ равны как вертикальные.

2. Углы $\angle A_k A_i A_j$ (он же $\angle PA_iA_j$) и $\angle A_k A_l A_j$ (он же $\angle PA_lA_j$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $\cup A_jA_k$. Следовательно, $\angle PA_iA_j = \angle PA_lA_k$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle PA_iA_j$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle PA_lA_k$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{PA_i}{PA_l} = \frac{PA_j}{PA_k}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$PA_i \cdot PA_k = PA_j \cdot PA_l$

Это равенство доказывает, что произведение отрезков, на которые точка пересечения делит диагональ $A_iA_k$, равно произведению отрезков, на которые та же точка делит диагональ $A_jA_l$.

Поскольку диагонали были выбраны произвольно, это утверждение справедливо для любой пары пересекающихся диагоналей в правильном многоугольнике.

Ответ: Доказано.