Номер 13.3, страница 160 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

13.3. a) Внутренний угол правильного $n$-угольника на $135^{\circ}$ больше его внешнего угла. Найдите число сторон этого $n$-угольника.

б) Внешний угол правильного $n$-угольника в три раза меньше его внутреннего угла. Найдите число сторон этого $n$-угольника.

а)

Обозначим внутренний угол правильного n-угольника как $\alpha$, а его смежный внешний угол как $\beta$. Сумма этих углов всегда составляет $180^\circ$, поэтому:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

По условию задачи, внутренний угол на $135^\circ$ больше внешнего, что можно записать как:
$\alpha = \beta + 135^\circ$, или $\alpha - \beta = 135^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1) $\alpha + \beta = 180^\circ$
2) $\alpha - \beta = 135^\circ$

Сложим эти два уравнения:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 135^\circ$
$2\alpha = 315^\circ$
$\alpha = 157.5^\circ$

Подставив значение $\alpha$ в первое уравнение, найдем $\beta$:
$157.5^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 157.5^\circ = 22.5^\circ$

Внешний угол правильного n-угольника также определяется формулой $\beta = \frac{360^\circ}{n}$, где $n$ — это число сторон. Выразим $n$ из этой формулы:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta$:
$n = \frac{360^\circ}{22.5^\circ} = \frac{3600}{225} = 16$.

Ответ: 16.

б)

Аналогично, пусть $\alpha$ — внутренний угол, а $\beta$ — внешний угол. Их сумма равна $180^\circ$:
$\alpha + \beta = 180^\circ$.

По условию, внешний угол в три раза меньше внутреннего, то есть:
$\alpha = 3\beta$.

Подставим выражение для $\alpha$ из второго соотношения в первое:
$3\beta + \beta = 180^\circ$
$4\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.

Используем формулу для числа сторон $n$ через внешний угол:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим значение $\beta$:
$n = \frac{360^\circ}{45^\circ} = 8$.

Ответ: 8.