Номер 12.10, страница 159 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.10. Докажите, что площадь вписанного четырехугольника, в который можно вписать окружность, равна $\sqrt{abcd}$, где $a, b, c, d$ – стороны четырехугольника.

Докажем данное утверждение. Четырехугольник, который является одновременно вписанным в окружность и описанным около окружности, называется бицентрическим. Для доказательства мы используем свойства обоих этих типов четырехугольников.

1. Свойство вписанного четырехугольника.
Площадь $S$ любого вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ вычисляется по формуле Брахмагупты:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$
где $p$ — это полупериметр четырехугольника, $p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

2. Свойство описанного четырехугольника.
Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедлива теорема Пито. Она гласит, что суммы длин противоположных сторон равны:
$a + c = b + d$

3. Совмещение свойств и вывод формулы.
Так как рассматриваемый четырехугольник обладает обоими свойствами, мы можем использовать теорему Пито для упрощения формулы Брахмагупты.
Найдем выражение для полупериметра $p$. Периметр $P = a+b+c+d$.
Используя равенство из теоремы Пито, $a+c = b+d$, мы можем записать периметр как:
$P = (a+c) + (b+d) = (a+c) + (a+c) = 2(a+c)$
Тогда полупериметр $p = \frac{P}{2} = a+c$.
Аналогично, $P = (a+b+c+d) = (b+d) + (b+d) = 2(b+d)$, откуда $p = b+d$.

Теперь подставим полученные выражения для полупериметра в множители под корнем в формуле Брахмагупты:

• $p-a = (a+c) - a = c$
• $p-b = (b+d) - b = d$
• $p-c = (a+c) - c = a$
• $p-d = (b+d) - d = b$

Подставим эти результаты в формулу Брахмагупты:
$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} = \sqrt{c \cdot d \cdot a \cdot b}$

Переставив сомножители под корнем, получаем искомую формулу:
$S = \sqrt{abcd}$
Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Было доказано, что площадь четырехугольника, который является одновременно вписанным в окружность и описанным около нее, равна $\sqrt{abcd}$, где $a, b, c, d$ — длины его сторон.