Номер 12.3, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.3. a) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13, 14, 15.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 37, 13, 40.

а)

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, используется формула $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

Даны стороны треугольника: $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.

1. Сначала найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.

Теперь вычислим площадь $S$:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$.

Для удобства вычисления разложим числа под корнем на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

2. Зная площадь, найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}$.

Сократим полученную дробь:

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot (6 \cdot 14)} = \frac{13 \cdot 15}{4 \cdot 6} = \frac{195}{24} = \frac{65}{8} = 8,125$.

Ответ: $8,125$.

б)

Аналогично пункту а), используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$.

Даны стороны треугольника: $a = 37$, $b = 13$, $c = 40$.

1. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{37+13+40}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Вычислим площадь $S$:

$S = \sqrt{45(45-37)(45-13)(45-40)} = \sqrt{45 \cdot 8 \cdot 32 \cdot 5}$.

Разложим числа под корнем на простые множители:

$S = \sqrt{(3^2 \cdot 5) \cdot (2^3) \cdot (2^5) \cdot 5} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 15 = 240$.

2. Теперь найдем радиус описанной окружности $R$:

$R = \frac{abc}{4S} = \frac{37 \cdot 13 \cdot 40}{4 \cdot 240}$.

Сократим дробь, заметив, что $240 = 6 \cdot 40$:

$R = \frac{37 \cdot 13 \cdot 40}{4 \cdot (6 \cdot 40)} = \frac{37 \cdot 13}{4 \cdot 6} = \frac{481}{24}$.

Дробь $\frac{481}{24}$ является несократимой, так как числитель $481 = 13 \cdot 37$, а знаменатель $24 = 2^3 \cdot 3$ не имеет общих множителей с числителем.

Ответ: $\frac{481}{24}$.