Номер 11.8, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.8. a) Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны $\sqrt{15}$ и $1$, а медиана, проведенная к третьей стороне, - $2$.

б) $BK$ - медиана треугольника $ABC$, $AB : BK : BC = 1 : 1,5 : 2\sqrt{2}$. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен $8 + 4\sqrt{2}$.

а)

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AC = \sqrt{15}$ и $BC = 1$. Пусть $CM$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, и ее длина $CM = 2$. Обозначим стороны как $a = BC = 1$, $b = AC = \sqrt{15}$ и $c = AB$. Медиана к стороне $c$ обозначается $m_c=2$.

Для нахождения длины третьей стороны $c$ воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Подставим известные значения в формулу: $2 = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 1^2 + 2 \cdot (\sqrt{15})^2 - c^2}$ $4 = \sqrt{2 \cdot 1 + 2 \cdot 15 - c^2}$ $4 = \sqrt{2 + 30 - c^2}$ $4 = \sqrt{32 - c^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат: $16 = 32 - c^2$ $c^2 = 32 - 16$ $c^2 = 16$ $c = 4$

Теперь мы знаем все три стороны треугольника: $a=1$, $b=\sqrt{15}$, $c=4$. Для нахождения площади $S$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1 + \sqrt{15} + 4}{2} = \frac{5 + \sqrt{15}}{2}$

Теперь вычислим площадь: $S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) = \left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}\right)\left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}-1\right)\left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}-\sqrt{15}\right)\left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}-4\right)$ $S^2 = \left(\frac{5+\sqrt{15}}{2}\right)\left(\frac{3+\sqrt{15}}{2}\right)\left(\frac{5-\sqrt{15}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{15}-3}{2}\right)$ $S^2 = \frac{(5+\sqrt{15})(5-\sqrt{15})}{4} \cdot \frac{(\sqrt{15}+3)(\sqrt{15}-3)}{4}$ $S^2 = \frac{5^2 - (\sqrt{15})^2}{4} \cdot \frac{(\sqrt{15})^2 - 3^2}{4}$ $S^2 = \frac{25 - 15}{4} \cdot \frac{15 - 9}{4}$ $S^2 = \frac{10}{4} \cdot \frac{6}{4} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}$ $S = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{2}$

б)

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$ и медиана $BK = m_b$. Из условия дано соотношение: $AB : BK : BC = 1 : 1,5 : 2\sqrt{2}$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда: $c = AB = x$ $m_b = BK = 1,5x$ $a = BC = 2\sqrt{2}x$

Используем формулу для длины медианы, проведенной к стороне $b=AC$: $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Подставим выражения через $x$: $(1,5x)^2 = \frac{2(2\sqrt{2}x)^2 + 2(x)^2 - b^2}{4}$ $2,25x^2 = \frac{2(8x^2) + 2x^2 - b^2}{4}$ $9x^2 = 16x^2 + 2x^2 - b^2$ $9x^2 = 18x^2 - b^2$ $b^2 = 18x^2 - 9x^2 = 9x^2$ $b = 3x$

Теперь у нас есть все стороны, выраженные через $x$: $a = 2\sqrt{2}x$, $b=3x$, $c=x$. Периметр треугольника $P = a+b+c = 2\sqrt{2}x + 3x + x = 4x + 2\sqrt{2}x = x(4+2\sqrt{2})$.

По условию периметр равен $8+4\sqrt{2}$. Приравняем и найдем $x$: $x(4+2\sqrt{2}) = 8+4\sqrt{2}$ $x(4+2\sqrt{2}) = 2(4+2\sqrt{2})$ $x = 2$

Теперь найдем длины сторон треугольника: $a = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$ $b = 3 \cdot 2 = 6$ $c = 1 \cdot 2 = 2$

Для нахождения площади $S$ используем формулу Герона. Полупериметр $p$: $p = \frac{P}{2} = \frac{8+4\sqrt{2}}{2} = 4+2\sqrt{2}$

Вычислим площадь: $S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$ $S^2 = (4+2\sqrt{2})( (4+2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} )( (4+2\sqrt{2}) - 6 )( (4+2\sqrt{2}) - 2 )$ $S^2 = (4+2\sqrt{2})(4-2\sqrt{2})(2\sqrt{2}-2)(2\sqrt{2}+2)$ $S^2 = (4^2 - (2\sqrt{2})^2) \cdot ((2\sqrt{2})^2 - 2^2)$ $S^2 = (16 - 8) \cdot (8 - 4)$ $S^2 = 8 \cdot 4 = 32$ $S = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Ответ: $4\sqrt{2}$