Номер 11.7, страница 156 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

11.7. a) Площадь треугольника ABC равна $6\sqrt{3}\text{ см}^2$, $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle ABC > 90^{\circ}$. Найдите высоту $BH$ треугольника ABC.

б) Площадь треугольника ABC равна $3\sqrt{3}\text{ см}^2$, $BC = 3$ см, $AB = 4\sqrt{3}$ см. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если ее центр лежит вне треугольника.

а)

Площадь треугольника может быть вычислена по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ – стороны треугольника, а $\gamma$ – угол между ними. В нашем случае, $S = 6\sqrt{3}$ см², $AB = 4$ см, $BC = 6$ см.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$

$6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin(\angle ABC)$

$6\sqrt{3} = 12 \cdot \sin(\angle ABC)$

$\sin(\angle ABC) = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, найдем косинус угла $\angle ABC$.

$\cos^2(\angle ABC) = 1 - \sin^2(\angle ABC) = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$\cos(\angle ABC) = \pm\frac{1}{2}$.

По условию задачи, угол $\angle ABC > 90°$, то есть является тупым. Косинус тупого угла отрицателен, следовательно, $\cos(\angle ABC) = -\frac{1}{2}$. (Это соответствует углу $120°$).

Теперь найдем длину стороны $AC$ по теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 16 + 36 + 24 = 76$

$AC = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Высота $BH$ опущена на сторону $AC$. Площадь треугольника также можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

$6\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{19} \cdot BH$

$6\sqrt{3} = \sqrt{19} \cdot BH$

$BH = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{3}\sqrt{19}}{19} = \frac{6\sqrt{57}}{19}$ см.

Ответ: $BH = \frac{6\sqrt{57}}{19}$ см.

б)

Площадь треугольника $ABC$ равна $S = 3\sqrt{3}$ см², стороны $BC = 3$ см, $AB = 4\sqrt{3}$ см. Найдем синус угла $\angle ABC$ между этими сторонами.

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$

$3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot \sin(\angle ABC)$

$3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin(\angle ABC)$

$\sin(\angle ABC) = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

Радиус описанной окружности $R$ связан со стороной треугольника и противолежащим ей углом через расширенную теорему синусов: $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$. Для стороны $AC$ и угла $\angle ABC$ формула выглядит так:

$R = \frac{AC}{2\sin(\angle ABC)}$

Подставив найденное значение синуса, получаем:

$R = \frac{AC}{2 \cdot \frac{1}{2}} = AC$

Таким образом, задача сводится к нахождению длины стороны $AC$.

Условие, что центр описанной окружности лежит вне треугольника, означает, что треугольник является тупоугольным. Уравнение $\sin(\angle ABC) = \frac{1}{2}$ имеет два решения для угла в треугольнике: $\angle ABC = 30°$ (острый) и $\angle ABC = 150°$ (тупой). Чтобы треугольник был тупоугольным, выберем тупой угол $\angle ABC = 150°$.

Найдем сторону $AC$ по теореме косинусов, зная две стороны и угол между ними. Косинус угла $150°$ равен $\cos(150°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 3 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AC^2 = 48 + 9 + 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AC^2 = 57 + 12 \cdot 3 = 57 + 36 = 93$

$AC = \sqrt{93}$ см.

Так как мы установили, что $R = AC$, то радиус описанной окружности равен $\sqrt{93}$ см.

Ответ: $R = \sqrt{93}$ см.