Номер 12.2, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.2. Найдите площадь треугольника со сторонами:

a) 8 см, 12 см, 16 см;

б) 10 см, 17 см, 21 см.

а)

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a$, $b$, $c$ – длины сторон треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Даны стороны треугольника: $a = 8$ см, $b = 12$ см, $c = 16$ см.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+12+16}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{18(18-8)(18-12)(18-16)}$

$S = \sqrt{18 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 2}$

Разложим числа под корнем на множители для удобства вычисления:

$S = \sqrt{(9 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 15} = \sqrt{144 \cdot 15}$

$S = \sqrt{144} \cdot \sqrt{15} = 12\sqrt{15}$ см².

Ответ: $12\sqrt{15}$ см².

б)

Даны стороны треугольника: $a = 10$ см, $b = 17$ см, $c = 21$ см.

1. Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}$

$S = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3}$

Разложим числа под корнем на множители:

$S = \sqrt{(4 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

$S = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{7^2} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Ответ: $84$ см².