Номер 12.8, страница 158 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

12.8. a) Стороны треугольника относятся как 5 : 7 : 8, а его площадь равна $160\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите периметр треугольника.

б) Одна сторона треугольника в 1,4 раза меньше второй стороны и в 1,6 раза меньше третьей стороны треугольника. Найдите периметр треугольника, если его площадь равна $90\sqrt{3}$ см$^2$.

а) Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. По условию, их отношение $a:b:c = 5:7:8$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины сторон треугольника можно выразить как $a=5x$, $b=7x$ и $c=8x$.

Для вычисления площади треугольника по трем сторонам воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала найдем полупериметр $p$:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5x+7x+8x}{2} = \frac{20x}{2} = 10x$.

Теперь подставим выражения для сторон и полупериметра в формулу Герона, чтобы выразить площадь через $x$:$S = \sqrt{10x(10x-5x)(10x-7x)(10x-8x)} = \sqrt{10x \cdot 5x \cdot 3x \cdot 2x} = \sqrt{300x^4} = \sqrt{100 \cdot 3 \cdot x^4} = 10x^2\sqrt{3}$.

Из условия задачи известно, что площадь $S = 160\sqrt{3}$ см². Приравняем полученное выражение для площади к этому значению и решим уравнение:$10x^2\sqrt{3} = 160\sqrt{3}$.

Разделим обе части уравнения на $10\sqrt{3}$:$x^2 = 16$. Поскольку длина стороны должна быть положительной, берем положительный корень: $x = 4$.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин его сторон:$P = a+b+c = 5x+7x+8x = 20x$.

Подставим найденное значение $x$:$P = 20 \cdot 4 = 80$ см.

Ответ: 80 см.

б) Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. По условию, одна сторона (пусть это будет $a$) в 1,4 раза меньше второй ($b$) и в 1,6 раза меньше третьей ($c$).

Запишем эти соотношения математически:$a = \frac{b}{1.4}$, что эквивалентно $b = 1.4a$.$a = \frac{c}{1.6}$, что эквивалентно $c = 1.6a$.

Таким образом, стороны треугольника соотносятся как $a : 1.4a : 1.6a$. Чтобы работать с целыми числами, найдем эквивалентное отношение. Умножим все части на 10: $10a : 14a : 16a$. Теперь сократим это отношение, разделив все части на 2: $5a : 7a : 8a$.

Мы видим, что стороны треугольника относятся как $5:7:8$. Как и в предыдущем пункте, обозначим стороны через новый коэффициент пропорциональности $k$: $5k, 7k, 8k$.

Формула для площади, выведенная в пункте а), остается той же: $S = 10k^2\sqrt{3}$.

По условию, площадь этого треугольника равна $90\sqrt{3}$ см². Составим и решим уравнение:$10k^2\sqrt{3} = 90\sqrt{3}$.

Разделим обе части на $10\sqrt{3}$:$10k^2 = 90$$k^2 = 9$$k = 3$ (так как длина стороны должна быть положительной).

Найдем периметр треугольника $P$:$P = 5k + 7k + 8k = 20k$.

Подставим найденное значение $k=3$:$P = 20 \cdot 3 = 60$ см.

Ответ: 60 см.